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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 正交矩阵的几何意义
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bwcq

新虫 (初入文坛)

[交流] 正交矩阵的几何意义 已有4人参与

最近看书突然想到一个问题，我们都知道如果将一个坐标系绕轴旋转的话相当于乘一个正交矩阵，即（X Y Z)=(x y z)α，正交矩阵α的三个特征值分别为1，，.如果我们连续绕不同的轴旋转三次，则（X Y Z)=（x y z)αβγ=(x y z)B，那么B肯定也是一个正交矩阵。但是B的三个特征值绝对不是1和一对共轭复数，那B的特征值会是什么形式呢？难道是三个不同的实根？
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1楼 2017-08-21 11:54:14
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
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仅仅对于正交矩阵的几何意义发表下看法：在Rn欧式空间中，它对应着一种正交变换，是几个基本变换的复合所构成，分别是反射，旋转，置换。
它就是保持距离不变的变换。
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PreferenceforMathematics
2楼2017-08-21 16:49:00
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
对于特征值，如下图所示：
正交矩阵的几何意义
1.PNG
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PreferenceforMathematics
3楼2017-08-21 17:05:14
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终之太刀—晓

铁杆木虫 (著名写手)

数学爱好者
★
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4楼: Originally posted by bwcq at 2017-08-21 21:40:49
那么对于任意两个右手坐标系，是否能够只通过一次旋转互相转化呢？（假设原点相同）...

根据层主alober指出的定理，具体运算下这个旋转过程的来源，如下图：
正交矩阵的几何意义-1
捕获.PNG
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10楼2017-08-23 11:59:39
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alober

木虫 (著名写手)
★
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引用回帖:
7楼: Originally posted by bwcq at 2017-08-22 12:32:29
这实际上是分别绕X,Y,Z轴做了三次旋转，但这三个矩阵相乘也是一个正交阵，所以有没有可能只通过一次旋转就能得到？...

可以，这由 Euler 旋转定理保证。
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8楼2017-08-22 15:55:23
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普通回帖

bwcq

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 终之太刀—晓 at 2017-08-21 17:05:14
对于特征值，如下图所示：

1.PNG

那么对于任意两个右手坐标系，是否能够只通过一次旋转互相转化呢？（假设原点相同）
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4楼2017-08-21 21:40:49
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ylsxz2012

铜虫 (初入文坛)
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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
对于任意两个右手坐标系，是可以通过旋转互相转化的（原点相同）。但一次可能不行。
(X Y Z)=(x y z)T。这个T可以根据旋转角度来决定，T应该是如下三个矩阵的乘积：
正交矩阵的几何意义-2
rotation-matrices.png
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5楼2017-08-22 08:26:46
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ylsxz2012

铜虫 (初入文坛)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
上面三个矩阵中的theta对不同的旋转要取不同的值。
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6楼2017-08-22 08:30:21
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bwcq

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
5楼: Originally posted by ylsxz2012 at 2017-08-22 08:26:46
对于任意两个右手坐标系，是可以通过旋转互相转化的（原点相同）。但一次可能不行。
(X Y Z)=(x y z)T。这个T可以根据旋转角度来决定，T应该是如下三个矩阵的乘积：

rotation-matrices.png
...

这实际上是分别绕X,Y,Z轴做了三次旋转，但这三个矩阵相乘也是一个正交阵，所以有没有可能只通过一次旋转就能得到？
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7楼2017-08-22 12:32:29
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bwcq

新虫 (初入文坛)
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7楼: Originally posted by bwcq at 2017-08-22 12:32:29
这实际上是分别绕X,Y,Z轴做了三次旋转，但这三个矩阵相乘也是一个正交阵，所以有没有可能只通过一次旋转就能得到？...

终于搞懂了，当然是可以的。因为旋转矩阵属于SO（3），对任意两个群元的联合操作仍然是一个群元。
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9楼2017-08-23 10:46:58
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