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从无限取球悖论揭露集合论中的逻辑矛盾 已有7人参与
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假设有一个无穷大的花瓶，在花瓶中装着无穷多个球，所有的球全都用正整数一一编号，实际上这个花瓶就相当于是包含所有正整数的集合。 现在将瓶中的球按照1，2，3……的顺序依次一个一个的从瓶中取出来，于是会有下面的结论： （一）：瓶中所有球的基数为阿列夫0. （二）：从瓶中取出1个球（1号球），瓶中剩余的球数仍为阿列夫0. 从瓶中取出2个球（1号和2号球），瓶中剩余的球数仍为阿列夫0. 从瓶中取出3个球（1，2，3号球），瓶中剩余的球数仍为阿列夫0. …… （三）：根据（二），可做出推论：从瓶中取出任意有限数量的球，瓶中剩余的球数仍为阿列夫0. （四）：根据皮亚诺公理可知，所有的正整数都是有限的正整数，不存在无穷大正整数。 （五）：根据（三）和（四），因为所有的正整数全都是有限的正整数，所以取出任意的一个编号的球，所取出来的都是有限数量的球，所以，将瓶中的所有球全部取出来，瓶中剩余的球仍为阿列夫0. 但这明显是错误的，因为将瓶中的所有球全部取出来，瓶中剩下的球数为0，因此有0＝无穷。 请问上面的第（一）至第（五）条，哪一条是错误的呢？ ............................................................ 这个悖论总结来说是这样的：瓶中装有无穷多个球，从瓶中取出一个球，剩下的球是无穷多的，从瓶中取出2个球，剩下的球还是无穷多的，从瓶中取出3个球，剩下的球还是无穷多的……所以无论从瓶中取出多少球，剩下的球都是无穷多的，所以将瓶中的球全部取空，剩下的球还是无穷多的，即0＝无穷。 我们知道这个推论是很荒谬的，但我们要想一下，为什么会得出这种荒谬的结论来？ 从取球的全过程来看，只有两个步骤：无穷多——0.即在取球的全过程中，瓶中的球要么就是无穷多的，要么就是0，而不存在……10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0这样的过程。 但是按照我们正常的思维，因为球是一个一个依次从瓶中取出来的，不允许一次取出多个球，所以，如果最后瓶中的球数为0，那么一定会经历……10，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0这样的过程。但是在取球的全过程中却并没有出现这样的情况，而是从无穷多突然之间变为0.于是，我们当然有理由要问：为什么？ 出现了如此巨大的矛盾，集合论又是如何合理的解决这个矛盾呢？在这个问题上集合论能做到逻辑自恰吗？如果集合论不能合理自恰的解决这个矛盾，那只能说明集合论的逻辑是错误的。 |
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