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xiaojixiong

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[求助] 一个函数的定积分求解

该定积分的表达式为： $\int_{ \gamma_m_i_n }^{ \gamma } {(\gamma^2-1)^{-1/4}dx}$
其中 $1\leq\gamma_m_i_n<\gamma$ 。

在下图1中和图2中，已给出相关的结果。图2为书上的结果，图1为别人计算的一个结果，我都不知道这椭圆积分它们到底是怎么来的，在标准积分表上我也没看到，并且图1里面的符号好像也没有交待清楚。所以特向各位大哥们请教！如果能在标准积分表上查到的话，麻烦给出相关的积分表，小弟在此先谢谢了！

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1楼 2017-02-20 19:10:26

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alober

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$f(t)=\int_{0}^{\sqrt{t}}(x^2-1)^{-\frac{1}{4}}dx$
$f(t) \mathop{=}^{x^2=y} \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2}\int_{0}^{t}y^{-\frac{1}{2}}(1-y)^{-\frac{1}{4}}dy \mathop{=}^{y=tx} \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2} \cdot t^{-\frac{1}{2}} \cdot t\int_{0}^{1}x^{-\frac{1}{2}}(1-tx)^{-\frac{1}{4}}dx = \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2} \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot B(\frac{1}{2},1) \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},t) = (-1)^{-\frac{1}{4}}t^{\frac{1}{2}} \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},t)$
$I=f(\gamma^2)-f(\gamma_{\min}^2) = (-1)^{-\frac{1}{4}}(\gamma \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\gamma^2)-\gamma_{\min} \cdot \,_2F_1(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\gamma_{\min}^2))$

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xiaojixiong

2楼2017-02-21 16:00:29

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2楼: Originally posted by alober at 2017-02-21 16:00:29
f(t)=\int_{0}^{\sqrt{t}}(x^2-1)^{-\frac{1}{4}}dx
f(t) \mathop{=}^{x^2=y} \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{2}\int_{0}^{t}y^{-\frac{1}{2}}(1-y)^{-\frac{1}{4}}dy \mathop{=}^{y=tx} \frac{(-1)^{-\frac{1}{4}}}{ ...

非常感谢您的热心帮助！能不能给出f(t)倒数第二步的标准积分表啊？还有就是F1是个啥函数。然后这个破积分我找到原始出处了。

.
参考文献：H. R. JORY and A. W. TRIVELPIECE. Exact relativistic solution for the one-dimensional diode, JOURNAL OF APPLIED PHYSICS VOLU;ME 40, NUMBER 10 SEPTEMBER 1969.
令w^4=r^2-1即可化为文献中完全相同的形式了。

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3楼2017-02-22 15:28:16

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谢谢回复！

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4楼2017-02-22 15:30:06

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3楼: Originally posted by xiaojixiong at 2017-02-22 15:28:16
非常感谢您的热心帮助！能不能给出f(t)倒数第二步的标准积分表啊？还有就是F1是个啥函数。然后这个破积分我找到原始出处了。

.
参考文献：H. R. JORY and A. W. TRIVELPIECE. Exact relativistic solution for t ...

$\,_2F_1(a,b,c,z)$ 是 Gauss 超几何函数，Euler 形式如：
$B(b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b,c,z)=\int_{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}dx$
其中B(x,y)是 beta 函数。好像还要求c>b>0，只要求实部满足就行。
对这个函数我也不太熟悉，也很少用，但很多函数都是它的特殊形式。

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5楼2017-02-22 15:40:28

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