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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教一道微分方程的题
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kyuu

木虫 (小有名气)

[求助] 请教一道微分方程的题已有3人参与

y' + 5y = 5x^9 + 9x^8
y(0)=2, 求 y(-1)
给个思路呗
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1楼2017-01-18 08:32:38
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alober

木虫 (著名写手)
要求非齐次方程的解，最后代入初值。找本书看看吧，对楼主的这类方程有确定的步骤来解。要是不想知道中间的过程只想要一个解，就直接代入书上最后的公式就行了。
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4楼2017-01-18 10:07:03
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by kyuu at 2017-01-18 11:05:00
主要是逻辑上的问题，我问题没说清楚，非齐次方程的解是一个通解加一个特解，对吧？
如果利用y(0)=2这个初值，求出系数C，那么齐次方程的通解y=c*e^(-5x) 就变为方程的一个解，解为y=2*e^(-5x)，这个解算什么，是 ...

齐次方程的常数C，在非齐次方程求特解的过程中不是应该为x的一个函数吗，好像是叫常数变易法吧，在非齐次方程求特解的过程中它不能固定为一个数值。如果只是代入x=0时的值求出C，那最后的解只有在这一个点上是对的，其它的点就不保证是对的了。因为最后的解是一个函数，要保证在每个点都是对的。
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11楼2017-01-18 11:22:37
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
12楼: Originally posted by kyuu at 2017-01-18 12:13:51
注意最后的问题是求y(-1)...

但你的方法只能保证在x=0处是正确的，其它点不能保证正确。
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13楼2017-01-18 12:30:40
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alober

木虫 (著名写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by kyuu at 2017-01-18 12:42:33
请指教...

因为你开始求C的时候，代入的不是非齐次方程，只是那个齐次方程，求出了x=0时的确定的C值，这个值不能用于非齐次方程，因为非齐次方程的解是函数，不是仅仅在一个点x=0处的一个y值，如果你把初始条件代入了齐次方程的通解并求C，认为这个C就能满足非齐次方程，那就是默认了这个齐次方程其实和原来的非齐次方程是同解的，它们有共同的解形式，但这不是事实。初始条件一般都要在最后代入才行，事实是可能有y(0)=2+f(x)，只是这个f(x)恰好在x=0处也为0，没体现出来，但你不能保证y(-1)=2+f(-1)时，这个f(-1)也是0。
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15楼2017-01-18 12:52:20
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