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colored

铜虫 (初入文坛)

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专业: 通信理论与系统

[求助] 求帮算积分已有2人参与

http:// $\"求帮算积分\"$

能力有限，查书也没查到，大神求解救，毕设全靠它了！

积分.JPG

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1楼 2017-01-04 17:21:21

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alober

木虫 (著名写手)

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作代换 $ax \to x$ ，则积分变成
$I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{bx}(\frac{\sin ax}{ax})^4dx = \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}\frac{\sin^4x}{x^4}dx$
其中 $t = \frac{b}{a}$ 。因为
$\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
所以
$16aI = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}(\frac{6}{x^4}-\frac{4e^{-2ix}}{x^4}-\frac{4e^{2ix}}{x^4}+\frac{e^{-4ix}}{x^4}+\frac{e^{4ix}}{x^4})dx$

先做点Fourier变换的准备：
因为 $\mathcal{F}[\operatorname{sign}(x)] = \frac{2}{is}$ ，所以 $\mathcal{F}[\frac{2}{is}] = \mathcal{F}[\mathcal{F}[\operatorname{sign}(x)]] = 2\pi\operatorname{sign}(-x)$ ，于是
$\mathcal{F}[\frac{1}{x}] = i\pi\operatorname{sign}(-s)$

注意
$\mathcal{F}[f^{(n)}(x)] = (is)^n\mathcal{F}[f(x)]$

让 $f^{(3)}(x) = \frac{1}{x^4}$ ，则 $f(x) = -\frac{1}{6x}$ ，使用上面的公式就有
$\mathcal{F}[\frac{1}{x^4}] = (is)^3\mathcal{F}[-\frac{1}{6x}] = (is)^3 \cdot \frac{1}{6}i\pi\operatorname{sign}(s) = \frac{\pi}{6}s^3\operatorname{sign}(s)$

得到这个以后，再做一些假设，假设t是纯虚数，设 $t = \lambda i$ ，则
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{tx}\frac{e^{4ix}}{x^4}dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i(\lambda+4)x}}{x^4}dx = \mathcal{F}[\frac{1}{x^4}] = \frac{\pi}{6}(-(\lambda+4))^3\operatorname{sign}(-(\lambda+4))$

其它几个也能类似算出来了。
注意其中做了假设，要求t是纯虚数。不知道是不是楼主需要的结果。