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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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[求助] 数学分析基础题证明

设A为非空数集，定义 $d\left ( x \right )=\underset{a\in A}{inf}\left \{ \left | x-a \right | \right \},x\in ( -\infty ,\infty )$ ,证明函数 $d\left ( x \right )$ 在 $( -\infty ,\infty )$ 上非负一致连续。

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凡事，一笑而过。。。。。。

1楼2016-12-02 16:20:38

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hylpy

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由定义,显然有 $d(x)\geq 0$ .
不妨设 $x_1\leq a\leq x_2,x_i\in(-\infty,\infty )$ ,则有
$d(x_i)\leq \left | x_1-x_2 \right |$ .从而有
$\left |d(x_1)-d(x_2 )\right |\leq d(x_1)+d(x_2)\leq 2\left | x_1-x_2 \right |$ .
由已知条件,知: $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta =\varepsilon /2$ .
当 $\left | x_1-x_2 \right |< \delta$ 时,有 $\left |d(x_1)-d(x_2 )\right |< 2\cdot \frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$ .
得证.