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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 感觉这些概念挺重要，谁能总结下他们的区别和联系
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enlearner

木虫 (小有名气)
★
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拓扑空间是最基本的，是集合+开集构成，这个空间里没有距离。就像人群+关系=社会一样。距离空间=拓扑空间+距离。这个距离的来源主要是定义出来的。距离空间是拓扑空间的一个子集，也可以理解为是一个子概念。同理向量空间又是距离空间的一个子集，子概念。

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11楼2016-11-22 21:11:43
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enlearner

木虫 (小有名气)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
范数和距离是两个概念，它们的定义的出发点是不同的。只是范数恰好能成为距离中的一种。一个拓扑空间上能定义的距离何止千百种，范数只是一种而已，是一种我们比较熟悉的而已。

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12楼2016-11-22 21:23:52
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picklas

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
因为你没有范围限制。空间的确是个很恼人的东西，我的理解首先可能是测度空间，因为它反应和体现的是一种代数结构，而没有开集赋予，像是最原始的新星球；之后如果有了拓扑关系，实际上已经是在建立拓扑结构，就会转而描述开集赋予了，就像星球上挑选大陆；再之后是hausdorff空间（领域可分割）；再下来是距离/度量空间；再演绎就是线形赋范空间，巴拿赫空间，希尔伯特空间，l2空间或者索博列夫空间......。我的认识是线形空间是和拓扑空间并列的存在，都归于测度空间下；而函数空间则是这两者和集的真子集。一些个人心得，可能有不对之处，欢迎探讨

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13楼2016-11-23 01:16:14
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picklas

木虫 (著名写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
9楼: Originally posted by ittechbay at 2016-11-21 17:31:59
看书上，metric确实可以定义成norm：d(x,y)=|x-y|，但后面又说，norm也能用metric定义，也就是说两者是平级的等价的

仔细体会你自己的文字，你会发现距离可以定义范数，是需要附加要求的（因为距离的概念比范数低）。而范数可以被距离定义也是一样的意思，只是说也可以不被距离定义，可以不是一定。所以两者会等价么？距离空间不一定线形空间，但赋范空间一定是；范数是更高层的要求，在其之下一定也可以找到一个距离。距离得到范数是必要条件，而范数得到距离是充分条件。范数很大程度上来源于测度和其后的可测函数，这部分主要是实变函数的理论内容，点集主要是康托尔的公理集合论，因为你并不主要针对函数算子，泛函就不说了

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14楼2016-11-23 01:23:45
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xyzxyz_xz

铜虫 (初入文坛)
★
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赋范空间是度量空间，反之不一定是

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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15楼2016-11-23 21:37:27
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_kdh

银虫 (正式写手)
引用回帖:
14楼: Originally posted by picklas at 2016-11-23 01:23:45
仔细体会你自己的文字，你会发现距离可以定义范数，是需要附加要求的（因为距离的概念比范数低）。而范数可以被距离定义也是一样的意思，只是说也可以不被距离定义，可以不是一定。所以两者会等价么？距离空间 ...

不等价的。

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16楼2016-11-24 08:48:14
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ittechbay

新虫 (小有名气)
引用回帖:
14楼: Originally posted by picklas at 2016-11-23 01:23:45
仔细体会你自己的文字，你会发现距离可以定义范数，是需要附加要求的（因为距离的概念比范数低）。而范数可以被距离定义也是一样的意思，只是说也可以不被距离定义，可以不是一定。所以两者会等价么？距离空间 ...

书上的意思也是说两者不等价的
"generality" of metric spaces is illusory

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每天进步一点点：http://pan.baidu.com/share/home?uk=4144079201#category/type=0
17楼2016-11-24 10:33:44
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