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i维数

木虫 (正式写手)

数学EPI: 4
应助: 74 (初中生)
金币: 3148.6
红花: 10
帖子: 691
在线: 941.9小时
虫号: 3691318
注册: 2015-02-17
性别: GG
专业: 偏微分方程

[求助] 求证数列奇数项为0 已有3人参与

如图，请给出详细过程，谢谢各位大神！

数列奇次项为0.png

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1楼 2016-11-05 20:18:02

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

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专业: 理论和计算化学

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
i维数: 金币+10, ★★★★★最佳答案, 先把金币发给大神了！ 2016-11-19 00:36:19

如果你能证明, $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{a_{j+1}x^j}{j!}-\frac{1}{2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\mbox{coth}\frac{x}{2}$ 的话, 由于右端是明显的奇函数, 楼主的猜想自然成立.

注意到 $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^j \binom{k}{j} a_{j+1}\right)\frac{x^k}{k!}$ 等于 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{kx^k}{(k+1)!}=e^x-\frac{e^x-1}{x}$

左边交换k 和 j 的求和次序,容易看出是 $\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^j a_{j+1} x^j}{j!}(e^x-1_$ . 做一些加加减减乘乘除除, 就是你想证明的.

11.11后, 金币缺的厉害, 大神快发钱