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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 求教数列极限已有3人参与

如图，谢谢各位了！

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1楼2016-11-04 10:55:22

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hylpy

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唵嘛呢叭咪吽

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【答案】应助回帖

由已知条件，得: $\left ( \lambda \left ( a_{n+1}-a_n-s \right )+\left (1-\lambda \right ) \left ( \frac{a_n}{n}-s \right )\right )\geq 2\sqrt{\lambda \left |\left ( 1-\lambda \right ) \right |\left ( a_{n+1}-a_n-s \right )\left ( \frac{a_n}{n}-s \right )}.$
$\because \lambda > 0[$/Latex]，不妨设[Latex}$1-\lambda \neq 0$ .(因为如果 $1-\lambda =0$ ，结论明显成立。)
此时有: $0\leq \sqrt{\left ( a_{n+1}-a_n-s \right )\left ( \frac{a_n}{n}-s \right )}\leq 0.$
所以，只有三种情况可成立，即: $\left ( a_{n+1}-a_n-s \right )=0,$
或[Latex]$$\left ( \frac{a_n}{n}-s \right )=0,$$[Latex]
亦或两者同时成立。此时结论成立。前两种情形，代入已知条件，知结论成立。
所以不管是何种情形，本题结论都成立。

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凡事，一笑而过。。。。。。

16楼2016-11-08 10:00:21

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hylpy

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

将已知条件改写成如下形式:[Latex]$$\lim_{n \to +\infty }\left ( \lambda \left ( a_{n+1} - a_n - s\right ) +\left ( 1-\lambda \right )\left ( \frac{a_n}{n} -s\right ) \right )=0$$[Latex].

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凡事，一笑而过。。。。。。

2楼2016-11-04 13:11:24

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hylpy

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【答案】应助回帖

(无法修改，写错代杩了，只能重发)
将已知条件改写成如下形式: $\lim_{n \to +\infty }\left ( \lambda \left ( a_{n+1} - a_n - s\right ) +\left ( 1-\lambda \right )\left ( \frac{a_n}{n} -s\right ) \right )=0$ .

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凡事，一笑而过。。。。。。

3楼2016-11-04 13:13:31

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junefi

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

我提供部分参考：
设 $b_{n+1} = a_{n+1} - a_n$ , $c_n = \frac{a_n}{n}$ .
Lemma: 若 $b_n$ 收敛到b（发散到∞），则 $c_n$ 亦收敛到b（发散到∞）。
所以当 b_n 收敛时，问题得证；当 c_n 收敛时，可以得知 b_n 也收敛（否则与已知条件矛盾），从而问题转化成第一种情况又得证。

但是，问题还没有完全解决，就是当 b_n 不收敛（而又不发散到无穷大）的时候。

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理论改变世界！

4楼2016-11-04 15:56:07

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