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风清云淡的李

新虫 (初入文坛)

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[交流] 复变函数思考题：连续函数是否可求其长度？请举例说明

我找到了例子魏尔斯特拉斯函数，它是连续的，但是怎么证明它不能求长度。
最好还能找出其他例子

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1楼2016-10-17 22:13:30

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alober

木虫 (著名写手)

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楼主可能是说连续曲线不一定可求长吧。如下例：
$\begin{cases}x=t\\y=\begin{cases}t\sin\frac1t & t\neq 0\\0 & t = 0\end{cases}\end{cases}$
其中 $0 \le t \le 1$ ，它就是不可求长的。
点 $A_n=(\frac{1}{2n\pi+\pi/2},\frac{1}{2n\pi+\pi/2})$ 和点 $B_n=(\frac{1}{2n\pi},0)$ 显然都在曲线上，求线段 $A_nB_n$ 的长度
$\sqrt{(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}-\frac{1}{2n\pi})^2+(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}-0)^2}\ge\sqrt{(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}-0)^2}=\frac{1}{2\pi(n+1/4)}>\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{n+1}$
根据调和级数发散可知 $\sum_{n=1}^{\infty}A_nB_n$ 发散，由两点间线段最短可知曲线长大于 $\sum_{n=1}^{\infty}A_nB_n$ ，也是发散的，所以不可求长。