复变函数思考题：连续函数是否可求其长度？请举例说明 - 数学 - 数学综合

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alober

木虫 (著名写手)

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★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

楼主可能是说连续曲线不一定可求长吧。如下例：
$\begin{cases}x=t\\y=\begin{cases}t\sin\frac1t & t\neq 0\\0 & t = 0\end{cases}\end{cases}$
其中 $0 \le t \le 1$ ，它就是不可求长的。
点 $A_n=(\frac{1}{2n\pi+\pi/2},\frac{1}{2n\pi+\pi/2})$ 和点 $B_n=(\frac{1}{2n\pi},0)$ 显然都在曲线上，求线段 $A_nB_n$ 的长度
$\sqrt{(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}-\frac{1}{2n\pi})^2+(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}-0)^2}\ge\sqrt{(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}-0)^2}=\frac{1}{2\pi(n+1/4)}>\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{1}{n+1}$
根据调和级数发散可知 $\sum_{n=1}^{\infty}A_nB_n$ 发散，由两点间线段最短可知曲线长大于 $\sum_{n=1}^{\infty}A_nB_n$ ，也是发散的，所以不可求长。

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11楼2016-10-18 07:22:14

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纳米材料753

12楼2016-10-18 07:46:15

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风清云淡的李

新虫 (初入文坛)

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引用回帖:

11楼: Originally posted by alober at 2016-10-18 07:22:14
楼主可能是说连续曲线不一定可求长吧。如下例：
\begin{cases}x=t\\y=\begin{cases}t\sin\frac1t & t\neq 0\\0 & t = 0\end{cases}\end{cases}
其中0 \le t \le 1，它就是不可求长的。
点A_n=(\frac{1}{ ...

我课本上就是这个例子，但是老师要求在找一个，但是还是很谢谢你

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13楼2016-10-18 09:34:29

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