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GTM2016年新书，Topics in Banach Space Theory（Fernando Albiac ,Nigel J. Kalton）
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封面： 目录：Contents 1 Bases and Basic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Schauder Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Examples: Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Equivalence of Bases and Basic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Bases and Basic Sequences: Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Constructing Basic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 The Eberlein– ˘Smulian Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 The Classical Sequence Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 The Isomorphic Structure of the `p-Spaces and c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Complemented Subspaces of `p .1 p < 1/ and c0 . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 The Space `1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4 Convergence of Series and Operators on c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Complementability of c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Special Types of Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1 Unconditional Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Bases and Duality: Boundedly Complete and Shrinking Bases. . . . 55 3.3 Nonreflexive Spaces with Unconditional Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4 The James Space J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.5 A Litmus Test for Having Unconditional Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 Banach Spaces of Continuous Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1 Basic Facts About the Spaces C.K/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2 An Intrinsic Characterization of Real C.K/-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.3 Isometrically Injective Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4 Spaces of Continuous Functions on Uncountable Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 xvii xviii Contents 4.5 Spaces of Continuous Functions on Countable Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5 L1./-Spaces and C.K/-Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.1 General Remarks About L1./-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2 Weakly Compact Subsets of L1./ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3 Weak Compactness inM.K/ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.4 The Dunford–Pettis Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.5 The Emergence of the Radon–Nikodym Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.6 Weakly Compact Operators on C.K/-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.7 Subspaces of L1./-Spaces and C.K/-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6 The Spaces Lp for 1 p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.1 The Haar Basis in LpOE0; 1 (1 p < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.2 Averaging in Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3 Properties of L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.4 Subspaces of Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7 Factorization Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.1 Maurey–Nikishin Factorization Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.2 Subspaces of Lp for 1 p < 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.3 Factoring Through Hilbert Spaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 7.4 The Kwapie′n–Maurey Theorems for Type-2 Spaces . . . . . . . . . . . . . . . 201 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8 Absolutely Summing Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 8.1 Grothendieck’s Inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 8.2 Absolutely Summing Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 8.3 Absolutely Summing Operators on L1./-Spaces and an Application to Uniqueness of Unconditional Bases . . . . . . . . 228 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9 Perfectly Homogeneous Bases and Their Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1 Perfectly Homogeneous Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.2 Symmetric Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.3 Uniqueness of Unconditional Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.4 Complementation of Block Basic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.5 The Existence of Conditional Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10 Greedy-Type Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.1 General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 10.2 Quasi-Greedy Bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.3 Democratic Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.4 Greedy Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Contents xix 10.5 Almost Greedy Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.6 Greedy Bases and Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 10.7 The Zoo of Greedy-Like Bases in a Banach Space . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 11 `p-Subspaces of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 11.1 Ramsey Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 11.2 Rosenthal’s `1 Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 11.3 Tsirelson Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 12 Finite Representability of `p-Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.1 Finite Representability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 12.2 The Principle of Local Reflexivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 12.3 Krivine’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 13 An Introduction to Local Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 13.1 The John Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 13.2 The Concentration of Measure Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 13.3 Dvoretzky’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 13.4 The Complemented Subspace Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 14 Nonlinear Geometry of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 14.1 Various Categories of Nonlinear Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 14.2 The Lipschitz Embedding Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 14.2.1 Existence of Derivatives of Lipschitz Maps . . . . . . . . . . . . . . . 376 14.2.2 Linearization of Lipschitz Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 14.2.3 Invariance of the Local Structure Under Coarse Lipschitz Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 14.3 Lipschitz Isomorphisms Between Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 14.3.1 Linearization of Lipschitz Retractions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.3.2 Banach Spaces Determined by Their Lipschitz Structure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.4 Linear Inverses to Nonlinear Isometric Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . 402 14.4.1 Derivatives of Convex Functions on Finite-Dimensional Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 14.4.2 The Structure of into Isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.5 Uniform Homeomorphisms Between Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . 409 14.5.1 The Coarse Lipschitz and Uniform Structures of `p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.6 Lipschitz Invariance of Asymptotic Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 xx Contents 15 Important Examples of Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 15.1 A Generalization of the James Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 15.2 Constructing Banach Spaces via Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 15.3 Pełczy′nski’s Universal Basis Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 15.4 The James Tree Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 A Normed Spaces and Operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 B Elementary Hilbert Space Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 C Duality in Lp./: Results Related to Hölder’s Inequality . . . . . . . . . . . . . . 453 D Main Features of Finite-Dimensional Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 E Cornerstone Theorems of Functional Analysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 E.1 The Hahn–Banach Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 E.2 Baire’s Category Theorem and Its Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 F Convex Sets and Extreme Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 G The Weak Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 H Weak Compactness of Sets and Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 I Basic Probability in Use. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 J Generalities on Ultraproducts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 K The Bochner Integral Abridged . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 |
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