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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[求助] [求助]请教大神极限题一道已有3人参与

题目：设 $H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}(n\geqslant 1)$ ，试证：极限

$\lim\limits_{n\to+\infty}\{H_n\}$

不存在！

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-08-16 03:57:32

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hylpy

专家顾问 (知名作家)

唵嘛呢叭咪吽

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【答案】应助回帖

★
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Edstrayer: 金币+1, thank 2016-08-17 03:10:21

参照微积分入门Ⅰ：一元微积分-（日）小平邦彦，p35页:
对自然数k,取满足 $2^k\leqslant n\leq 2^{k+1}$ 的 $2^k$ 个关于自然数n的倒数之和，有 $\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{n}> \frac{2^k}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}$ .
∴对于任意的自然m，有
$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}> 1+\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{m}\sum_{n=2^k+1}^{2^{k+1}}\frac{1}{n}> 1+\frac{m}{2}$ .
$\therefore \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=+\infty$ .