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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 高等代数

矩阵，多项式

高等代数


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1楼 2016-08-06 19:56:39
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
我们先看看最小多项式和特征多项式相差多少。

如果是A的一个特征值， 设它对应的Jordan 块的大小分别是 , 那么 对A 的最小多项式贡献的因子是 , 对A 的特征多项式贡献的因子是

于是最小多项式等于特征多项式 当且仅当 对每一个特征值， 它所对应的 Jordan块只有一个。

现在假设A是满足题目中假设的那种矩阵，即和A交换的矩阵都可以表示成A的多项式。 考虑代数封闭域，不妨设 A 自身已经是 Jordan 标准型了。设J是其中一个Jordan块对应的特征值是， 那么， 当把J扩充成一个nxn矩阵后，(其它Jordan块位置统统填0)， 显然 J 和 A可交换， 于是 存在多项式f(x), 使得 J=f(A).

注意到， 对于作为分块矩阵的每一个Jordan块， f(A) 的对角线元素恰好等于 (楼主想一想，为什么)。 于是 多项式f(x)必须满足：(1) 对Jordan块J， 有. (2)对于不等于J 的其它Jordan块 , 设对应的特征值为, 均有.

于是， 如果, 那么其它的Jordan 块对应的特征值 没有一个可以等于， 从而 对应的Jordan 块是唯一的。

如果， 我们可以李代桃僵， 考虑B=A+I.  由于和B交换的矩阵一定是和A可交换，于是是A的多项式 f(A), 于是是B的多项式 f(B-1). 从上面的分析知道， 对应于1这个特征值的Jordan 块是唯一的， 于是A中即使对应于0 的Jordan 块也是唯一的。

于是A的最小多项式等于特征多项式。

个人觉得， 满足题目中条件的矩阵应该非常特殊的， 楼主不妨花点时间完全刻画它们。
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李干是
We_must_know. We_will_know.
2楼2016-08-08 01:35:00
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李干是

新虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2016-08-08 01:35:00
我们先看看最小多项式和特征多项式相差多少。

如果\lambda是A的一个特征值， 设它对应的Jordan 块的大小分别是 d_1,d_2,\dots,d_k, 那么\lambda 对A 的最小多项式贡献的因子是 (x-\lambda)^{\mathrm{max}(d_1,\d ...

真是辛苦你了，写了这么多！不过呢，我现在在准备考研，可能没有那么多时间放在一个方面。还有，你给我提的问题其实我早都已经解决了！

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3楼2016-08-08 22:57:06
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量张

禁虫 (职业作家)
本帖内容被屏蔽
4楼2016-08-09 08:09:04
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李干是

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引用回帖:
4楼: Originally posted by 量张 at 2016-08-09 08:09:04
你都解决了，还发图上来干嘛，吃饱了撑的，拿别人寻开心？

你有没有看清楚，我说的是那位前辈给我提的小问题，这个问题我并没有解决

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5楼2016-08-09 10:45:13
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 李干是 at 2016-08-08 22:57:06
真是辛苦你了，写了这么多！不过呢，我现在在准备考研，可能没有那么多时间放在一个方面。还有，你给我提的问题其实我早都已经解决了！
...

哦，我今天才想起来，昨天在查资料的时候看到别人已经分析了这种矩阵的结构

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6楼2016-08-09 10:58:53
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
4楼: Originally posted by 量张 at 2016-08-09 08:09:04
你都解决了，还发图上来干嘛，吃饱了撑的，拿别人寻开心？

其实，作为一个来问问题的人确实不应该用“早都”这样的词语，任谁都会忍不住批评两句，也怪不得你，我以后会注意言辞的

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7楼2016-08-09 11:00:22
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
6楼: Originally posted by 李干是 at 2016-08-09 10:58:53
哦，我今天才想起来，昨天在查资料的时候看到别人已经分析了这种矩阵的结构
...

这种矩阵结构甚是简单，就是在代数闭域上可以对角化，并且对角线上元素两两不相等。另一个等价条件是特征多项式没有重根。

由于这类矩阵构成的集合在所有矩阵中的补集是零测集，所以几乎所有的矩阵都满足题设条件，矩阵一点都不特殊，之前太想当然了。
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We_must_know. We_will_know.
8楼2016-08-09 12:12:57
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秦清HH

新虫 (初入文坛)
大一有没有适合的高等代数资料

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9楼2016-10-19 22:06:50
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
9楼: Originally posted by 秦清HH at 2016-10-19 22:06:50
大一有没有适合的高等代数资料

个人感觉屠伯埙的还不错

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10楼2016-10-19 23:31:23
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