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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 高等代数

矩阵，多项式

高等代数


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1楼 2016-08-06 19:56:39
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秦清HH

新虫 (初入文坛)
大一有没有适合的高等代数资料

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9楼2016-10-19 22:06:50
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
我们先看看最小多项式和特征多项式相差多少。

如果是A的一个特征值， 设它对应的Jordan 块的大小分别是 , 那么 对A 的最小多项式贡献的因子是 , 对A 的特征多项式贡献的因子是

于是最小多项式等于特征多项式 当且仅当 对每一个特征值， 它所对应的 Jordan块只有一个。

现在假设A是满足题目中假设的那种矩阵，即和A交换的矩阵都可以表示成A的多项式。 考虑代数封闭域，不妨设 A 自身已经是 Jordan 标准型了。设J是其中一个Jordan块对应的特征值是， 那么， 当把J扩充成一个nxn矩阵后，(其它Jordan块位置统统填0)， 显然 J 和 A可交换， 于是 存在多项式f(x), 使得 J=f(A).

注意到， 对于作为分块矩阵的每一个Jordan块， f(A) 的对角线元素恰好等于 (楼主想一想，为什么)。 于是 多项式f(x)必须满足：(1) 对Jordan块J， 有. (2)对于不等于J 的其它Jordan块 , 设对应的特征值为, 均有.

于是， 如果, 那么其它的Jordan 块对应的特征值 没有一个可以等于， 从而 对应的Jordan 块是唯一的。

如果， 我们可以李代桃僵， 考虑B=A+I.  由于和B交换的矩阵一定是和A可交换，于是是A的多项式 f(A), 于是是B的多项式 f(B-1). 从上面的分析知道， 对应于1这个特征值的Jordan 块是唯一的， 于是A中即使对应于0 的Jordan 块也是唯一的。

于是A的最小多项式等于特征多项式。

个人觉得， 满足题目中条件的矩阵应该非常特殊的， 楼主不妨花点时间完全刻画它们。
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李干是
We_must_know. We_will_know.
2楼2016-08-08 01:35:00
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李干是

新虫 (小有名气)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by hank612 at 2016-08-08 01:35:00
我们先看看最小多项式和特征多项式相差多少。

如果\lambda是A的一个特征值， 设它对应的Jordan 块的大小分别是 d_1,d_2,\dots,d_k, 那么\lambda 对A 的最小多项式贡献的因子是 (x-\lambda)^{\mathrm{max}(d_1,\d ...

真是辛苦你了，写了这么多！不过呢，我现在在准备考研，可能没有那么多时间放在一个方面。还有，你给我提的问题其实我早都已经解决了！

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3楼2016-08-08 22:57:06
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量张

禁虫 (职业作家)
本帖内容被屏蔽
4楼2016-08-09 08:09:04
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