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李干是

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[求助] 高等代数

矩阵，多项式

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1楼 2016-08-06 19:56:39

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hank612

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6楼: Originally posted by 李干是 at 2016-08-09 10:58:53
哦，我今天才想起来，昨天在查资料的时候看到别人已经分析了这种矩阵的结构
...

这种矩阵结构甚是简单，就是在代数闭域上可以对角化，并且对角线上元素两两不相等。另一个等价条件是特征多项式没有重根。

由于这类矩阵构成的集合在所有矩阵中的补集是零测集，所以几乎所有的矩阵都满足题设条件，矩阵一点都不特殊，之前太想当然了。

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We_must_know. We_will_know.

8楼2016-08-09 12:12:57

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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我们先看看最小多项式和特征多项式相差多少。

如果 $\lambda$ 是A的一个特征值，设它对应的Jordan 块的大小分别是 $d_1,d_2,\dots,d_k$ , 那么 $\lambda$ 对A 的最小多项式贡献的因子是 $(x-\lambda)^{\mathrm{max}(d_1,\dots,d_k)}$ , 对A 的特征多项式贡献的因子是 $(x-\lambda)^{d_1+\dots+d_k}$

于是最小多项式等于特征多项式当且仅当对每一个特征值 $\lambda$ ，它所对应的 Jordan块只有一个。

现在假设A是满足题目中假设的那种矩阵，即和A交换的矩阵都可以表示成A的多项式。考虑代数封闭域，不妨设 A 自身已经是 Jordan 标准型了。设J是其中一个Jordan块对应的特征值是 $\lambda$ ，那么，当把J扩充成一个nxn矩阵后，(其它Jordan块位置统统填0)，显然 J 和 A可交换，于是存在多项式f(x), 使得 J=f(A).

注意到，对于作为分块矩阵的每一个Jordan块， f(A) 的对角线元素恰好等于 $f(\lamba)$ (楼主想一想，为什么)。于是多项式f(x)必须满足：(1) 对Jordan块J，有 $f(\lambda)=\lambda$ . (2)对于不等于J 的其它Jordan块 $J_s$ , 设对应的特征值为 $\lambda_s$ , 均有 $f(\lambda_s)=0$ .

于是，如果 $\lambda\neq 0$ , 那么其它的Jordan 块对应的特征值没有一个可以等于 $\lambda$ ，从而 $\lambda$ 对应的Jordan 块是唯一的。

如果 $\lambda=0$ ，我们可以李代桃僵，考虑B=A+I. 由于和B交换的矩阵一定是和A可交换，于是是A的多项式 f(A), 于是是B的多项式 f(B-1). 从上面的分析知道，对应于1这个特征值的Jordan 块是唯一的，于是A中即使对应于0 的Jordan 块也是唯一的。

于是A的最小多项式等于特征多项式。

个人觉得，满足题目中条件的矩阵应该非常特殊的，楼主不妨花点时间完全刻画它们。

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李干是

We_must_know. We_will_know.

2楼2016-08-08 01:35:00

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李干是

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2楼: Originally posted by hank612 at 2016-08-08 01:35:00
我们先看看最小多项式和特征多项式相差多少。

如果\lambda是A的一个特征值，设它对应的Jordan 块的大小分别是 d_1,d_2,\dots,d_k, 那么\lambda 对A 的最小多项式贡献的因子是 (x-\lambda)^{\mathrm{max}(d_1,\d ...

真是辛苦你了，写了这么多！不过呢，我现在在准备考研，可能没有那么多时间放在一个方面。还有，你给我提的问题其实我早都已经解决了！

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3楼2016-08-08 22:57:06

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量张

禁虫 (职业作家)

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4楼2016-08-09 08:09:04

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