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i维数

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[求助] 求证一道涉及多项式的积分不等式

如图，谢谢！

涉及多项式的积分不等式.png

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1楼 2016-08-01 23:49:07

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Edstrayer

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由于 $p_n(x)$ 为n次代数多项式，根据代数基本定理可知， $p_n(x)$ 在[a,b]上至多存在n个实零点，设 $a_i(i=1,2,\cdots,k)$ 是 $p_n(x)$ 在[a,b]上的所有实零点，则 $k\leqslant n$ ，于是就有：

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x)|dx+\int_{a_1}^{a_2}|p_n^{'}(x)|dx+\cdots+\int_{a_k}^b|p_n^{'}(x)|dx$

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\pm\int_a^{a_1}p_n^{'}(x)dx\pm\int_{a_1}^{a_2}p_n^{'}(x)dx+\cdots\pm\int_{a_k}^bp_n^{'}(x)dx$

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\pm(p_n(a_1)-p_n(a))\pm(p_n(a_2)-p_n(a_1))+\cdots\pm(p_n(b)-p_n(a_k))$

注意到 $\pm p_n(a),\pm p_n(b)\leqslant\max\limits_{x\in[a,b]}\{|p_n(x)|\},p_n(a_i)=0(i=1,2,\cdots,k)$ ，所以就有：

$\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\pm p_n(a)\pm p_n(b)\leqslant 2\max\limits_{x\in[a,b]}\{|p_n(x)|\}\leqslant 2n\max\limits_{x\in[a,b]}\{|p_n(x)|\}$

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2楼2016-08-02 01:36:36

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i维数

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-08-02 01:36:36
由于p_n(x)为n次代数多项式，根据代数基本定理可知，p_n(x)在上至多存在n个实零点，设a_i(i=1,2,\cdots,k)是p_n(x)在上的所有实零点，则k\leqslant n，于是就有：
\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x) ...

我觉得你去绝对值那里是不对的。函数在两个零点之间不可能会是单调的，所以导数的符号有正也有负，那么绝对值是如何去掉的？

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3楼2016-08-02 02:15:45

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按照你的思路，修改一下，只要考虑pn'(x)的零点就行了。

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4楼2016-08-02 02:21:52

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懂了，谢谢版主大人哈！

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5楼2016-08-02 02:26:33

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szuwusongbin

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都是高手啊

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6楼2016-08-02 22:04:17

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Edstrayer

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4楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-02 02:21:52
按照你的思路，修改一下，只要考虑pn'(x)的零点就行了。...

疏忽了，确实改为考虑 $p_n^{'}(x)$ 在[a,b]上的零点级可以了。

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7楼2016-08-03 00:20:34

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