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i维数

木虫 (正式写手)

[求助] 求证一道涉及多项式的积分不等式

如图，谢谢！

求证一道涉及多项式的积分不等式
涉及多项式的积分不等式.png
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1楼 2016-08-01 23:49:07
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
由于为n次代数多项式，根据代数基本定理可知，在[a,b]上至多存在n个实零点，设是在[a,b]上的所有实零点，则，于是就有：




注意到，所以就有：
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
2楼2016-08-02 01:36:36
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-08-02 01:36:36
由于p_n(x)为n次代数多项式，根据代数基本定理可知，p_n(x)在上至多存在n个实零点，设a_i(i=1,2,\cdots,k)是p_n(x)在上的所有实零点，则k\leqslant n，于是就有：
\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x) ...

我觉得你去绝对值那里是不对的。函数在两个零点之间不可能会是单调的，所以导数的符号有正也有负，那么绝对值是如何去掉的？
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3楼2016-08-02 02:15:45
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-08-02 01:36:36
由于p_n(x)为n次代数多项式，根据代数基本定理可知，p_n(x)在上至多存在n个实零点，设a_i(i=1,2,\cdots,k)是p_n(x)在上的所有实零点，则k\leqslant n，于是就有：
\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x) ...

按照你的思路，修改一下，只要考虑pn'(x)的零点就行了。
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4楼2016-08-02 02:21:52
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i维数

木虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-08-02 01:36:36
由于p_n(x)为n次代数多项式，根据代数基本定理可知，p_n(x)在上至多存在n个实零点，设a_i(i=1,2,\cdots,k)是p_n(x)在上的所有实零点，则k\leqslant n，于是就有：
\int_a^b|p_n^{'}(x)|dx=\int_a^{a_1}|p_n^{'}(x) ...

懂了，谢谢版主大人哈！
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5楼2016-08-02 02:26:33
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szuwusongbin

木虫 (正式写手)
都是高手啊

发自小木虫Android客户端
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6楼2016-08-02 22:04:17
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
4楼: Originally posted by i维数 at 2016-08-02 02:21:52
按照你的思路，修改一下，只要考虑pn'(x)的零点就行了。...

疏忽了，确实改为考虑在[a,b]上的零点级可以了。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
7楼2016-08-03 00:20:34
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