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1楼 2016-07-27 18:52:50

已阅关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

应助: 225 (大学生)
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专业: 理论和计算化学

引用回帖:

3楼: Originally posted by hank612 at 2016-07-28 12:08:37
楼主可以麻烦你把矩阵所属的类别解释一下么？就是那个S下标加号的
谢谢

楼主我基本上可以猜出 $S_+^{k+1}$ 代表(k+1)维半正定矩阵的集合。

如果用矩阵符号将一个次数为k 的多项式 b(t) 记成 $b(t)=(1,t,t^2,\dots,t^k)\cdot (b_0,b_1,b_2,\dots,b_k)^T$ , 其中 ^T表示矩阵的转置，那么 $b(t)^2=(1,t,t^2,\dots,t^k)\cdot (b_0,b_1,b_2,\dots,b_k)^T\cdot (b_0,b_1,b_2,\dots,b_k) \cdot (1,t,t^2,\dots,t^k)^T$ .

于是矩阵 $Y=(b_0,b_1,b_2,\dots,b_k)^T\cdot (b_0,b_1,b_2,\dots,b_k) \in S_+^{k+1}$ 且 $b(t)^2$ 中 $t^i$ 的系数恰好就是 $\sum_{m+n=i}Y_{mn}$ (注意：这里矩阵Y的下标从0到k, 楼主自己调整成从1到k+1)

反之，若矩阵 $Y \in S_+^{k+1}$ 非负定，那么存在正交阵U 使得 $U^T \cdot Y \cdot U = \Lambda$ , 其中 $\Lambda$ 是由Y的特征值组成的对角阵，且对角元素 $\lambda_k$ 都是非负的。

于是 $(1,t,t^2,\dots,t^k)\cdot Y \cdot (1,t,t^2,\dots,t^k)^T =\sum_{s=0}^k \lambda_k (y_k)^2$ 一定是非负的，这里 $(y_0,y_1,\dots,y_k)^T=U\cdot (1,t,t^2,\dots,t^k)^T$ .