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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 请教：怎么证明这个组合求和式
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xrma

木虫 (正式写手)
设没问题。有严格的数学理论。

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11楼2016-06-18 17:12:17
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cmxregister9

新虫 (初入文坛)
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10楼: Originally posted by fungarwai at 2016-06-18 16:34:08
去看那些朱世杰恒等式、范德蒙恒等式怎么证

...

您的解释没错。但是您可能忽略了我的回复的最后一行，两个多项式的外求和式，一个是从0到正无穷，一个是从0到n，两个式子相等，怎么可能推导出内部系数相等这个结论。这与范得蒙恒等式的证明在最后一部分是不同的。
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12楼2016-06-19 08:06:31
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cmxregister9

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
11楼: Originally posted by xrma at 2016-06-18 17:12:17
设没问题。有严格的数学理论。

什么样的理论？不知可否指点一二？两个多项式的外求和式，一个是从0到正无穷，一个是从0到n，两个式子相等，怎么可能推导出内部系数相等这个结论。
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13楼2016-06-19 08:08:13
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cmxregister9

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
3楼: Originally posted by xrma at 2016-06-17 20:46:14

我想给您发金币，以表感谢。不知怎么能发给您，在您的这个回复上，还没有评分这部分。但是您的这个思路也很不错。
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14楼2016-06-19 08:11:09
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fungarwai

新虫 (小有名气)
引用回帖:
12楼: Originally posted by cmxregister9 at 2016-06-19 08:06:31
您的解释没错。但是您可能忽略了我的回复的最后一行，两个多项式的外求和式，一个是从0到正无穷，一个是从0到n，两个式子相等，怎么可能推导出内部系数相等这个结论。这与范得蒙恒等式的证明在最后一部分是不同的。...

左边从0到正无穷，右边是从0到n，两者被证明了相等
这说明了左边从n+1到正无穷都是0
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15楼2016-06-19 08:47:07
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cmxregister9

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
15楼: Originally posted by fungarwai at 2016-06-19 08:47:07
左边从0到正无穷，右边是从0到n，两者被证明了相等
这说明了左边从n+1到正无穷都是0...

我觉得这个说法不严谨，也不一定。这两个多项式相等的目的是为了推导出其前n项对应系数相等这个结论。
如果考虑左边从n+1到正无穷系数都是0，在这个前提条件下，能推出左右两多项式的前n项的对应系数相等。
但是如果不考虑左边从n+1到正无穷系数都为0，如果在左右两多项式的前n项的对应系数不相等的情况下，是否也能保持左右多项式相等呢？这个是值得商榷的。

您的“左边从0到正无穷，右边是从0到n，两者被证明了相等
这说明了左边从n+1到正无穷都是0”这个说法，是基于左右两多项式的前n项的对应系数相等这个前提条件的。而这个前提条件正好是希望推导出来的结论。
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16楼2016-06-19 10:36:12
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fungarwai

新虫 (小有名气)
引用回帖:
16楼: Originally posted by cmxregister9 at 2016-06-19 10:36:12
我觉得这个说法不严谨，也不一定。这两个多项式相等的目的是为了推导出其前n项对应系数相等这个结论。
如果考虑左边从n+1到正无穷系数都是0，在这个前提条件下，能推出左右两多项式的前n项的对应系数相等。
但是 ...

从一开始就是对于所有x成立的恒等式，所以左右两多项式对应系数相等
”左右两多项式的前n项的对应系数相等“和“左边从n+1到正无穷系数都是0”早就成立了
两者都是被推出来的，不是互相推出的
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17楼2016-06-19 11:15:50
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xrma

木虫 (正式写手)
正是。各位可去wiki有百科查阅形式幂级数理论。一切会迎刃而解。

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18楼2016-06-19 21:19:47
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cmxregister9

新虫 (初入文坛)
引用回帖:
2楼: Originally posted by fungarwai at 2016-06-17 13:48:06

我仔细推敲了下您给的这个证明，发现证明的第一行的这个假设条件是否太强了些？这即是需要假设p=1,2,...,n-1总共n-1个多项式都满足等于C(p,r)。
这与传统的假设m=r (r属于[1,...,n-1])时，等式成立是完全不一样的，传统的假设只需假设一个多项式成立，去推导m=r+1时，多项式仍然成立。

所以我感觉您的这个证法不是归纳法证明，而且条件太强了些。不知是否还能弱化假设条件。
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19楼2016-06-20 06:07:57
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