版块导航: 正在加载中...

登录注册

应《网络安全法》要求，自2017年10月1日起，未进行实名认证将不得使用互联网跟帖服务。为保障您的帐号能够正常使用，请尽快对帐号进行手机号验证，感谢您的理解与支持！

24小时热门版块排行榜

>论坛更新日志 (5039)
>休闲灌水 (550)
>虫友互识 (414)
>导师招生 (390)
>文献求助 (372)
>论文投稿 (223)
>博后之家 (180)
>招聘信息布告栏 (150)
>考博 (108)
>硕博家园 (97)
>学术会议 (81)
>找工作 (57)
>基金申请 (43)
>教师之家 (40)
>SciFinder/Reaxys (35)
>育儿交流 (33)

返回列表

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

[交流] 一个代数恒等式的证明已有3人参与

题目：设x，y，z是正实数，且满足 $xy+yz+zx=1$ ，试证：

$xyz(x+y)(y+z)(z+x)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=\frac{1}{2}\left((1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\right)$

回复此楼

» 收录本帖的淘帖专辑推荐

大学数学习题汇刊专辑

» 猜你喜欢

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-06-06 04:26:52

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

0404600213

金虫 (正式写手)

应助: 56 (初中生)
金币: 725.5
散金: 2157
红花: 23
帖子: 992
在线: 295.6小时
虫号: 2224916
注册: 2013-01-06
性别: GG
专业: 数论

★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+5, 谢谢参与 2016-06-07 01:32:18

$xyz(x+y)(y+z)(x+z)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(xz+yz)(xy+xz)(xy+yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(1-xy)(1-xz)(1-yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2-xy^2z-x^2yz-xyz^2)=\frac{(x-y)^2}{2}+\frac{(y-z)^2}{2}+\frac{(x-z)^2}{2}-\frac{(xy-xz)^2}{2}-\frac{(xz-yz)^2}{2}-\frac{(xy-yz)^2}{2}=....$

赞一下(1人)

回复此楼

2楼2016-06-06 17:21:29

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

数学EPI: 7
应助: 157 (高中生)
贵宾: 0.927
金币: 9349.6
散金: 4503
红花: 77
沙发: 2
帖子: 2745
在线: 1465.6小时
虫号: 3086598
注册: 2014-03-25
管辖: 数学

引用回帖:

2楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-06-06 17:21:29
https://latex.codecogs.com/gif.l ... mp;amp;plus;z)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(xz+yz)(xy+xz)(xy+yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(1-xy)(1-xz)(1-yz)-(1-x^ ...

要进一步地证明不等式：

$(1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\geqslant 0$

该如何证明呢？

赞一下

回复此楼

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-06-07 01:37:14

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

0404600213

金虫 (正式写手)

应助: 56 (初中生)
金币: 725.5
散金: 2157
红花: 23
帖子: 992
在线: 295.6小时
虫号: 2224916
注册: 2013-01-06
性别: GG
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

暂时只能证明x,y,z至多只有一个大于1

另外约束条件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2

赞一下

回复此楼

4楼2016-06-07 09:26:25

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

hank612

至尊木虫 (著名写手)

数学EPI: 14
应助: 225 (大学生)
金币: 14270.6
散金: 1055
红花: 95
帖子: 1526
在线: 1375.8小时
虫号: 2530333
注册: 2013-07-03
性别: GG
专业: 理论和计算化学

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

4楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-06-07 09:26:25
暂时只能证明x,y,z至多只有一个大于1

另外约束条件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2

你其实无意中已经说出答案了阿

如果有两个大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已经大于1。

如果恰好只有一个大于1，那么恒等式左边是一个正数减去一个负数，自然大于0

如果三个都小于1，那么恒等式右边每一项都是正数，自然大于0.

所以二楼的证明才是关键！

赞一下

回复此楼

We_must_know. We_will_know.

5楼2016-06-07 11:25:09

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

0404600213

金虫 (正式写手)

应助: 56 (初中生)
金币: 725.5
散金: 2157
红花: 23
帖子: 992
在线: 295.6小时
虫号: 2224916
注册: 2013-01-06
性别: GG
专业: 数论

★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

引用回帖:

5楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-07 11:25:09
你其实无意中已经说出答案了阿

如果有两个大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已经大于1。

如果恰好只有一个大于1，那么恒等式左边是一个正数减去一个负数，自然大于0

如果三个都小于1，那么恒等式右边每一 ...

我一直在考虑坐标变换或者三角代换……