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Edstrayer

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[交流] 一个代数恒等式的证明已有3人参与

题目：设x，y，z是正实数，且满足 $xy+yz+zx=1$ ，试证：

$xyz(x+y)(y+z)(z+x)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=\frac{1}{2}\left((1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\right)$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼 2016-06-06 04:26:52

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0404600213

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$xyz(x+y)(y+z)(x+z)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(xz+yz)(xy+xz)(xy+yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(1-xy)(1-xz)(1-yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz-(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2-xy^2z-x^2yz-xyz^2)=\frac{(x-y)^2}{2}+\frac{(y-z)^2}{2}+\frac{(x-z)^2}{2}-\frac{(xy-xz)^2}{2}-\frac{(xz-yz)^2}{2}-\frac{(xy-yz)^2}{2}=....$

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2楼2016-06-06 17:21:29

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Edstrayer

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-06-06 17:21:29
https://latex.codecogs.com/gif.l ... mp;amp;plus;z)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(xz+yz)(xy+xz)(xy+yz)-(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)=(1-xy)(1-xz)(1-yz)-(1-x^ ...

要进一步地证明不等式：

$(1-x^2)(y-z)^2+(1-y^2)(z-x)^2+(1-z^2)(x-y)^2\geqslant 0$

该如何证明呢？

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

3楼2016-06-07 01:37:14

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暂时只能证明x,y,z至多只有一个大于1

另外约束条件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2

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4楼2016-06-07 09:26:25

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hank612

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4楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-06-07 09:26:25
暂时只能证明x,y,z至多只有一个大于1

另外约束条件可以配方成
(x+y-z)2+(x-y+z)2+(x-y-z)2=2

你其实无意中已经说出答案了阿

如果有两个大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已经大于1。

如果恰好只有一个大于1，那么恒等式左边是一个正数减去一个负数，自然大于0

如果三个都小于1，那么恒等式右边每一项都是正数，自然大于0.

所以二楼的证明才是关键！

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We_must_know. We_will_know.

5楼2016-06-07 11:25:09

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5楼: Originally posted by hank612 at 2016-06-07 11:25:09
你其实无意中已经说出答案了阿

如果有两个大于1，比如x,y, 那么 x 乘以 y 已经大于1。

如果恰好只有一个大于1，那么恒等式左边是一个正数减去一个负数，自然大于0

如果三个都小于1，那么恒等式右边每一 ...

我一直在考虑坐标变换或者三角代换……