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李干是

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矩阵的秩

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r(单位阵-A)+r(单位阵+A)=n，A是n阶的，求证A是对合阵

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1楼 2016-06-01 09:07:55

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sskkyy

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因为单位矩阵相似不变，可以假设A是若当标准型上三角矩阵，再利用秩的关系可以推出它实际上是对角矩阵，也是对合。

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2楼2016-06-01 09:18:24

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李干是

新虫 (小有名气)

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2楼: Originally posted by sskkyy at 2016-06-01 09:18:24
因为单位矩阵相似不变，可以假设A是若当标准型上三角矩阵，再利用秩的关系可以推出它实际上是对角矩阵，也是对合。

有没有初等的解答呢？这是在矩阵的秩这一节出现的题目，我想应该会有初等的解法吧。

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3楼2016-06-01 09:29:18

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hank612

至尊木虫 (著名写手)

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3楼: Originally posted by 李干是 at 2016-06-01 09:29:18
有没有初等的解答呢？这是在矩阵的秩这一节出现的题目，我想应该会有初等的解法吧。
...

有一些事实罗列出来,看看有没有搞头.

设A的对应于特征值+1和-1的特征子空间分别为 $W_{1}=Ker(A-E), W_{-1}=Ker(A+E)$ .

(1) A 是对合当且仅当 $A^2=E$ 当且仅当 $W_1+W_{-1}=V$ , 这里V是全空间.

(2) 一般地, 对两个子空间 U1,U2, 有维数公式 $dim(U_1+U_2)+dim(U_1\cap U_2)=dim(U_1)+dim(U_2)$

(3) 若全空间的维数为 n, 那么方阵的秩 (rank) 可以用 kernel 计算: $r(A)=n-dim(Ker(A))$

(4) 对不同的特征子空间, 它们的交一定是零空间.

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