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李干是

新虫 (小有名气)

[求助] 高等代数 已有1人参与

矩阵的秩

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r(单位阵-A)+r(单位阵+A)=n，A是n阶的，求证A是对合阵
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1楼 2016-06-01 09:07:55
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李干是

新虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by sskkyy at 2016-06-01 09:18:24
因为单位矩阵相似不变，可以假设A是若当标准型上三角矩阵，再利用秩的关系可以推出它实际上是对角矩阵，也是对合。

有没有初等的解答呢？这是在矩阵的秩这一节出现的题目，我想应该会有初等的解法吧。

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3楼2016-06-01 09:29:18
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sskkyy

银虫 (正式写手)
因为单位矩阵相似不变，可以假设A是若当标准型上三角矩阵，再利用秩的关系可以推出它实际上是对角矩阵，也是对合。

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2楼2016-06-01 09:18:24
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hank612

至尊木虫 (著名写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by 李干是 at 2016-06-01 09:29:18
有没有初等的解答呢？这是在矩阵的秩这一节出现的题目，我想应该会有初等的解法吧。
...

有一些事实罗列 出来,看看有没有搞头.

设A的对应于特征值+1和-1的特征子空间分别为.

(1) A 是对合 当且仅当   当且仅当 , 这里V是全空间.

(2) 一般地, 对两个子空间 U1,U2, 有维数公式

(3) 若全空间的维数为 n, 那么方阵的秩 (rank) 可以用 kernel 计算:  

(4) 对不同的特征子空间, 它们的交一定是零空间.
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We_must_know. We_will_know.
4楼2016-06-02 00:22:58
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guozhonghai

新虫 (小有名气)
只需要构建四分块矩阵，主对角线上为E-A与E+A，副对角线上为零。然后对其做分块初等变换，最后化为主对角线上为E与A∧2-E。即可
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5楼2016-06-03 22:29:02
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