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ld梁冬

铜虫 (小有名气)

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1楼2016-05-28 17:14:45

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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$S_{4k+1}=6\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k+1}\right)$
$S_{4k+1}=S_{4k-1}+\frac{6}{4k+1}$
$S_{4k+2}=S_{4k+1}$
$S_{4k+3}=S_{4k-1}+\frac{6}{4k+1}-\frac{6}{4k+3}$
$S_{4k+4}=S_{4k+3}$
令 $f(x)=6\left(x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots+\frac{1}{4k-3}x^{4k-3}-\frac{1}{4k-1}x^{4k-1}\right)$
则 $f'(x)=6\left(1-x^2+x^4-x^6+\cdots+x^{4k-4}-x^{4k-2}\right)$
故 $f'(x)=\frac{6}{1+x^2}+\frac{6x^{4k}}{1+x^2}$
所以 $f(x)=6\arctan x+6\int_0^x\frac{t^{4k}}{1+t^2}dt(k\geqslant 1)$
因此就有：
$S_{4k-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\frac{3\pi}{2}+6\int_0^1\frac{x^{4k}}{1+x^2}dt(k\geqslant 1)$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k-1}=\frac{3\pi}{2}$
同理可得：
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+1}=\frac{3\pi}{2}$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+2}=\frac{3\pi}{2}$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+3}=\frac{3\pi}{2}$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+4}=\frac{3\pi}{2}$
从而得到：
$\lim\limits_{n\to+\infty}S_{n}=\frac{3\pi}{2}$