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ld梁冬

铜虫 (小有名气)

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1楼 2016-05-28 17:14:45

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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$S_{4k+1}=6\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{4k-3}-\frac{1}{4k-1}+\frac{1}{4k+1}\right)$
$S_{4k+1}=S_{4k-1}+\frac{6}{4k+1}$
$S_{4k+2}=S_{4k+1}$
$S_{4k+3}=S_{4k-1}+\frac{6}{4k+1}-\frac{6}{4k+3}$
$S_{4k+4}=S_{4k+3}$
令 $f(x)=6\left(x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\cdots+\frac{1}{4k-3}x^{4k-3}-\frac{1}{4k-1}x^{4k-1}\right)$
则 $f'(x)=6\left(1-x^2+x^4-x^6+\cdots+x^{4k-4}-x^{4k-2}\right)$
故 $f'(x)=\frac{6}{1+x^2}+\frac{6x^{4k}}{1+x^2}$
所以 $f(x)=6\arctan x+6\int_0^x\frac{t^{4k}}{1+t^2}dt(k\geqslant 1)$
因此就有：
$S_{4k-1}=\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=\frac{3\pi}{2}+6\int_0^1\frac{x^{4k}}{1+x^2}dt(k\geqslant 1)$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k-1}=\frac{3\pi}{2}$
同理可得：
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+1}=\frac{3\pi}{2}$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+2}=\frac{3\pi}{2}$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+3}=\frac{3\pi}{2}$
$\lim\limits_{k\to+\infty}S_{4k+4}=\frac{3\pi}{2}$
从而得到：
$\lim\limits_{n\to+\infty}S_{n}=\frac{3\pi}{2}$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

10楼2016-05-29 05:02:15

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gold2007

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这是交错级数且通项绝对值严格单调减少，由Leibniz判别法，级数收敛且其和大于0小于6。

发自小木虫IOS客户端

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5楼2016-05-28 17:57:48

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i维数

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第四项，收敛于0，考虑S_(4n)即可。

2楼2016-05-28 17:25:01

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ld梁冬

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2楼: Originally posted by i维数 at 2016-05-28 17:25:01
第四项，收敛于0，考虑S_(4n)即可。

具体说说呗，对高数不通

3楼2016-05-28 17:27:39

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一段木头

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先化简sin，出现1，0，-1，0规律，然后舍去0项，只剩下1，-1项，后项比前向，得出等比数列，然后套公式

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读过两年书，尘世中一个迷途小书童。

4楼2016-05-28 17:36:15

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5楼: Originally posted by gold2007 at 2016-05-28 17:57:48
这是交错级数且通项绝对值严格单调减少，由Leibniz判别法，级数收敛且其和大于0小于6。

好的，谢谢

6楼2016-05-28 18:03:35

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ld梁冬

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4楼: Originally posted by 一段木头 at 2016-05-28 17:36:15
先化简sin，出现1，0，-1，0规律，然后舍去0项，只剩下1，-1项，后项比前向，得出等比数列，然后套公式

谢谢

7楼2016-05-28 18:03:49

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i维数

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不好意思，我说错了，极限存在但不是0。

8楼2016-05-28 18:26:11

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peterflyer

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个人认为这个级数是发散的。因为n趋于无穷时级数项并不趋于零。

9楼2016-05-28 21:54:16

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