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物理学中尚未解决的积分，数学家们有啥办法？ 已有6人参与
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在固体物理中会涉及以下形式的三重积分，其中被积函数是一个一般的二次多项式，积分范围也涉及二次多项式。想得到积分的严格表达式，或者高精度的数值积分结果。 目前只有二维情况（去掉维度z）的解析积分是知道的，但是尚未见到三重积分的解析表达式，在实际计算中遇到这类问题，只能做近似，例如简化g(x,y,z)，把积分区域均匀分割成8块，每一块用一个线性多项式g'(x,y,z)=a1'+a2'*x+a3'*y+a4'*z去拟合g(x,y,z)，但是在计算金属、半导体的时候，这么做会遇到问题。 本人也做过一些不成功的尝试。例如，把g(x,y,z)替换为阶梯函数，乘到f(x,y,z)上去，这样积分范围简单了，但是被积函数太复杂，无法进行严格的积分。于是改做数值积分，用了从5阶到8阶的高斯积分，结果均不理想，还不如上面g(x,y,z)线性近似的方法准。  001.png |
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这个问题其实不难，我说一下框架吧。（其实这个问题在代数学中已经解决了关键的部分） 解决这个问题的关键是积分区域g(x,y,z)的规则表达，也就是代数学中的“二次型的标准化，具体做法如下： 第一步：通过坐标旋转把交叉项（也就是xy,xz,yz项)去掉，一次项不用管，自然累加就可以了。三维的旋转角有两个，计算有一定有难度，但一定能算出来，而且后面还要用---具体的内容百度或者查（二次型或二次曲面方面的数学书） 第二步：通过配方法将上一步所得方程化为标准型，结果不外乎三种：椭球（包含球），双曲型，抛物型。（如果是虚球，刚此积分无意义，不与考虑） 第三步：将前面0<x<1,0<y<1,0<z<1在旋转的情况下算出新的取值范围（只与旋转角有关） 第四步：将被积函数f(x,y,z)在旋转下用新的未知量替换，积分变量同步替换。 第五步：最标准的三重积分解法，本科二年级难度。 补充：算法二： 第一步：同上。 第二步：用球坐标变换或柱坐标变换将被积函数和积分区域同步变换。以下内容相信本科的任何一本高数书上都有。 看起来困难，其实最关键的就是第一步---二次型的标准化。两种算法都要用到这个。但这个内容已经是古典数学中较为成熟的东西，早已经解决。如果第一步解决，其余步骤只是顺其自然。 希望对你有所帮助。 |
3楼2016-04-29 10:41:05
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