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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 求助一个集合论方面的问题
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cheng2169

木虫 (正式写手)

[求助] 求助一个集合论方面的问题已有2人参与

设, ,其中, .求满足
时，下式的最大值
?

顺便问一下，像这类问题，有没有相关的资料可以参考，谢谢
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1楼2016-04-14 08:15:24
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
注意到k(k-1)可以看成是首项是0,末项是k-1，公差是1的一个等差数列的和

所以可以猜想取得最大值时|A1|=k-1 k项交的模等于0
进而构造A1=X-{1}，A2=X-{2}，...Ak=X-{k}

易证此时的M=|A1|+|A2|...+|Ak|=k(k-1)最大
因为若此时不是最大，则必有某个Ai=X，进而使得前提不满足
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cheng2169
2楼2016-04-14 10:23:50
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0404600213

金虫 (正式写手)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-04-14 10:23:50
注意到k(k-1)可以看成是首项是0,末项是k-1，公差是1的一个等差数列的和

所以可以猜想取得最大值时|A1|=k-1 k项交的模等于0
进而构造A1=X-{1}，A2=X-{2}，...Ak=X-{k}

易证此时的M=|A1|+|A2|...+|Ak|=k(k-1)最 ...

k(k-1)/2
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3楼2016-04-14 10:24:15
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cheng2169

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
2楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-04-14 10:23:50
注意到k(k-1)可以看成是首项是0,末项是k-1，公差是1的一个等差数列的和

所以可以猜想取得最大值时|A1|=k-1 k项交的模等于0
进而构造A1=X-{1}，A2=X-{2}，...Ak=X-{k}

易证此时的M=|A1|+|A2|...+|Ak|=k(k-1)最 ...

你好，谢谢你的帮助，但是我有个问题：怎么证明
A1=X-{1}，A2=X-{2}，...Ak=X-{k}时，M=|A1|+|A2|...+|Ak|=k(k-1)取得最大值？

直观感觉是这种情况下，取得最大值，但是我就是没知道怎么证明？
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4楼2016-04-14 19:57:18
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
cheng2169: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2016-04-20 20:53:04
引用回帖:
4楼: Originally posted by cheng2169 at 2016-04-14 19:57:18
你好，谢谢你的帮助，但是我有个问题：怎么证明
A1=X-{1}，A2=X-{2}，...Ak=X-{k}时，M=|A1|+|A2|...+|Ak|=k(k-1)取得最大值？

直观感觉是这种情况下，取得最大值，但是我就是没知道怎么证明？...

因为如果这个不是最大值，那么根据抽屉原理，那么至少有个Ai=X
根绝这个可以证明前提不成立

比如A1=X的话 那么
前提那个和会变成
k+k-1+k-2+...+1=k(k+1)/2
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cheng2169
5楼2016-04-14 20:06:26
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cheng2169

木虫 (正式写手)
送红花一朵
引用回帖:
5楼: Originally posted by 0404600213 at 2016-04-14 20:06:26
因为如果这个不是最大值，那么根据抽屉原理，那么至少有个Ai=X
根绝这个可以证明前提不成立

比如A1=X的话 那么
前提那个和会变成
k+k-1+k-2+...+1=k(k+1)/2...

那请问 ｜A_0|, |A_0\cap A_1|, ...,|A_0\cap A_1\cap ...\cap A_{k-1}|为什么一定是等差数列呢？这个数列中不会出现两个数相等吗？
谢谢
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6楼2016-04-14 21:10:12
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lzu15zsx

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
引用回帖:
6楼: Originally posted by cheng2169 at 2016-04-14 21:10:12
那请问 ｜A_0|, |A_0\cap A_1|, ...,|A_0\cap A_1\cap ...\cap A_{k-1}|为什么一定是等差数列呢？这个数列中不会出现两个数相等吗？
谢谢...

可以考虑逐步调整吗？
若Ai?Ai+1，互换顺序，上面的和更小。
所以或许可以考虑把等于X的集合换到最后面，而且好像会得到比上面哪位先生更好的估计…
没想错的话，A1=｛1｝，Ai=X(i=2,3,...,k)似乎符合条件，而且使得下面的和为k(k-1)+1。

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7楼2016-04-17 07:12:13
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lzu15zsx

新虫 (小有名气)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
cheng2169: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2016-04-20 20:52:51
引用回帖:
7楼: Originally posted by lzu15zsx at 2016-04-17 07:12:13
可以考虑逐步调整吗？
若Ai?Ai+1，互换顺序，上面的和更小。
所以或许可以考虑把等于X的集合换到最后面，而且好像会得到比上面哪位先生更好的估计…
没想错的话，A1=｛1｝，Ai=X(i=2,3,...,k)似乎符合条件，而且使 ...

那个显示不出来的符号是“包含”符号。

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8楼2016-04-17 07:12:45
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