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i维数

木虫 (正式写手)

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[求助] 几个有关三角函数的极限

1. $\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{|sin{kx}|}}$ 是否存在？存在的话是多少？（若 $x=1$ 好像会得到 $\frac{2}{\pi}$ ?如果把正弦换为余项又会怎样？2. $\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{\ln n}\sum_{k=1}^n{\frac{|sin{kx}|}{k}}}$ 是否存在？存在的话是多少？谢谢！

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1楼 2016-04-13 14:00:22

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lzu15zsx

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8楼: Originally posted by i维数 at 2016-04-13 17:10:09
那么原极限为什么会等于这个呢？
...

“mod1一致分布”…
可以在华罗庚先生《数论导引》里找到一个较初等的证法。

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9楼2016-04-17 23:48:00

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Edstrayer

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$|\sin kx|\leqslant 1\Rightarrow\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1$

因此就有：

$\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1$

怎么可能得到 $\pi$

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

2楼2016-04-13 14:23:25

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i维数

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2楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-04-13 14:23:25
|\sin kx|\leqslant 1\Rightarrow\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1
因此就有：
\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n|\sin kx|\leqslant 1
怎么可能得到\pi...

你看漏了一个2。。。是2/pi,不是pi

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3楼2016-04-13 14:30:34

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引用回帖:

已用软件计算到n=100000,应该就是他了

三角函数极限.jpg

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4楼2016-04-13 14:40:41

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