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tigou

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[求助] 乘方素数问题

设
$\mathbb{N}_{\ge 2}=\{n\in\mathbb{N}:n\ge 2\}.$
称n为乘方合数, 如果
$\exists a,b\in\mathbb{N}_{\ge 2},~a^b=n.$
大于1的自然数如果不是乘方合数，就是乘方素数。例如，2,3,5,6,7,10是乘方素数； 4,8,9,16,25,27是乘方合数.

用T(n)表示小于等于n的乘方素数的个数. 请问：
$\lim_{n\to+\infty}\frac{T(n)}{n}=0.$
是否正确？进一步问, 能否给出一个初等函数
$f:\mathbb{N}_{\ge 2}\to\mathbb{R},$
使得
$\lim_{n\to+\infty}\frac{T(n)}{f(n)}=1.$

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0/0的意义是所有数的集合

1楼 2016-02-25 13:29:43

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找到一个近似公式
$f(n)=\frac{2\text{Li}(n)}{\ln n}=\frac{2}{\ln n}\int_2^n\frac{dx}{\ln x}$
假如用
$H(n)$
来表示n以内的乘方合数, 则足
$\lim_{n\to+\infty}\frac{H(n)}{f(n)}=1.$
f的初等近似为
$\frac{2n}{(\ln n)^2}.$

有木有发现这个结论与素数定理很像？这并不奇怪, 因为乘方素数本来就是素数的推广, 二者之间没有联系才奇怪. 欢迎验证, 也欢迎验证后的批评和改进结果.

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0/0的意义是所有数的集合

2楼2016-02-26 12:02:54

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引用回帖:

2楼: Originally posted by tigou at 2016-02-26 12:02:54
找到一个近似公式
f(n)=\frac{2\text{Li}(n)}{\ln n}=\frac{2}{\ln n}\int_2^n\frac{dx}{\ln x}
假如用
H(n)
来表示n以内的乘方合数, 则足
\lim_{n\to+\infty}\frac{H(n)}{f(n)}=1.
f的初等近似为
\frac{2n} ...

重新检查了几遍，n以内的乘方合数的个数应该是
$ln n*\text{Li}(n^{0.5})-n^{0.5}.$
初等近似则为
$n^{0.5}.$
n等于一亿时，
$\frac{H(n)}/n^{0.5}\approx 0.9597$

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3楼2016-02-26 14:20:16

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引用回帖:

3楼: Originally posted by tigou at 2016-02-26 14:20:16

重新检查了几遍，n以内的乘方合数的个数应该是
ln n*\text{Li}(n^{0.5})-n^{0.5}.
初等近似则为
n^{0.5}.
n等于一亿时，
\frac{H(n)}/n^{0.5}\approx 0.9597...

更正：
n等于一亿时，
$\frac{H(n)}{n^{0.5}}\approx 0.9597$

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0/0的意义是所有数的集合

4楼2016-02-26 14:22:29

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遥控小丑

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中午12点起床吃早饭~

5楼2016-02-26 16:13:14

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昨晚用程序对乘方合数进行精确统计. 设定n=10^8以后就睡觉了，醒来以后发现电脑还在算. 只好改成小一点地数字. 结果如下(直接舍弃两位以后的数，未四舍五入）：
n       (n^0.5)/H(n)
10^2       0.83
10^3       0.79
10^4       0.80
10^5       0.86
10^6       0.90
10^7       0.93

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0/0的意义是所有数的集合

6楼2016-02-27 11:31:23

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