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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 一个三角形内心的命题
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

[交流] 一个三角形内心的命题

命题：设的三个顶点分别是A，B，C，其所对的三边边长分别是a，b，c，I是的内心。
试证：

[ Last edited by Edstrayer on 2016-2-21 at 02:58 ]
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
1楼 2016-02-21 02:47:57
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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界
引用回帖:
3楼: Originally posted by i维数 at 2016-02-21 13:45:20
化为代数不等式的做法可能有点繁杂，不知有没有其他简便解法？

直接计算（过程也不复杂）可得：


然后利用基本不等式就可导出所需要的不等式。
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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。
4楼2016-02-21 16:10:19
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i维数

木虫 (正式写手)
★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
Edstrayer: 金币+7 2016-02-21 16:06:35
设内切圆半径为r,切点为E,F,G,（AEB共线，BFC共线，CGA共线）则不难用a,b,c将AE,BE,BF,FC,CG,GA分别表示出来。由r(a+b+c)=2s=(p(p-a)(p-b)(p-c))^(1/2),s为三角形面积，2p=a+b+c,再结合勾股定理可以将不等式左边用a,b,c表示出来。作代换b+c-a=x,等等。则只需证明如下不等式（见图）：
一个三角形内心的命题
不等式.jpg
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2楼2016-02-21 13:40:52
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i维数

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
化为代数不等式的做法可能有点繁杂，不知有没有其他简便解法？
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3楼2016-02-21 13:45:20
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i维数

木虫 (正式写手)
★
小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖
引用回帖:
4楼: Originally posted by Edstrayer at 2016-02-21 16:10:19
直接计算（过程也不复杂）可得：
IA^2+IB^2+IC^2=ab+bc+ca-\frac{6abc}{a+b+c}
然后利用基本不等式就可导出所需要的不等式。...

原来直接证明也不难，竟然可以化简成这个样子。看来是想复杂了
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5楼2016-02-22 02:32:31
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