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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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[交流] 一个三角形内心的命题

命题：设 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别是A，B，C，其所对的三边边长分别是a，b，c，I是 $\triangle ABC$ 的内心。
试证： $IA^2+IB^2+IC^2\geqslant (abc)^{\frac{2}{3}}$

[ Last edited by Edstrayer on 2016-2-21 at 02:58 ]

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

1楼2016-02-21 02:47:57

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i维数

木虫 (正式写手)

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化为代数不等式的做法可能有点繁杂，不知有没有其他简便解法？

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3楼2016-02-21 13:45:20

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i维数

木虫 (正式写手)

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Edstrayer: 金币+7 2016-02-21 16:06:35

设内切圆半径为r,切点为E,F,G,（AEB共线，BFC共线，CGA共线）则不难用a,b,c将AE,BE,BF,FC,CG,GA分别表示出来。由r(a+b+c)=2s=(p(p-a)(p-b)(p-c))^(1/2),s为三角形面积，2p=a+b+c,再结合勾股定理可以将不等式左边用a,b,c表示出来。作代换b+c-a=x,等等。则只需证明如下不等式（见图）：