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十点钟的咖啡

金虫 (正式写手)

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[求助] 留数定理已有2人参与

我遇到一个需要用留数定理来解决的积分问题. (实变函数的积分, 扩展到复变函数, 采用留数定理)

这个函数的所有奇点都在上平面. 下平面没有奇点.

如果我选择在下平面做积分, 那么积分不就是零了嘛!

如果选择上平面就不是零了. 我就不会了.

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1楼 2016-02-13 21:38:03

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西门犨

银虫 (著名写手)

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【答案】应助回帖

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十点钟的咖啡: 金币+10 2016-02-16 09:24:23

这种类型的问题一般要做一条辅助线：上半圆（下半圆）。

选下半圆的话辅助线的积分难算吗？应该难算，因为它的值不趋于0。选上半平面的话，辅助线积分可能趋于0。这时候只要算留数就行了，翻翻复变函数教材就没问题了。

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忙起来了，整个世界清静了，啊！啊！啊！啊！啊！

2楼2016-02-13 22:08:32

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--八云--

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【答案】应助回帖

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十点钟的咖啡: 金币+10 2016-02-16 09:24:15

下平面积分和上平面是不相等的，即便是全平面没有奇点也是不相等的，你可以找个例子试一下。

在你的例子里，下平面积分确实为零，但是请注意是整个围道积分是零，不是光在实轴上为零。

所以如果用下平面积分的话，那么你所求积分数值等于包围下平面的半圆周从负无穷到正无穷的积分。这个积分通常是不容易直接计算的，远没有上平面半圆为零好算。

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人原本是不死的，后来他创造了死亡，故而人们歌颂他。

3楼2016-02-14 21:31:19

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