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zax111zax

新虫 (小有名气)

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[求助] 求解微分方程

求解

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1楼 2016-01-30 09:34:00

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静~slient

禁虫 (著名写手)

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2楼2016-01-31 19:21:11

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静~slient

禁虫 (著名写手)

本帖内容被屏蔽

3楼2016-01-31 19:22:03

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zax111zax

新虫 (小有名气)

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引用回帖:

2楼: Originally posted by 静~slient at 2016-01-31 19:21:11
直接分离变量，然后两边同时积分即可

详细过程

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4楼2016-02-01 06:26:06

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peterflyer

木虫之王 (文学泰斗)

peterflyer

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
zax111zax: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2016-02-10 11:29:11

令u=x*y
则，x=u/y dx=[y*du-u*dy]/y^2
注意到右边的x*dy+y*dx=d(x*y)
故：y*[y*du-u*dy]/y^2=(1-y-y^2)*du
整理后：du/u=dy/[y^2*(y-1)]=[1/(y-1)-1/y^2-1/y]*dy
Lnu=LnC++1/y+Ln[(y-1)/y]
即Ln（x*y）=LnC++1/y+Ln[(y-1)/y]

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5楼2016-02-01 09:43:59

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Edstrayer

版主 (著名写手)

方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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注册: 2014-03-25
管辖: 数学

【答案】应助回帖

原方程变形为：

$(1-y-y^2)xdy=y^2(1+y)dx$

这是可分离变量型微分方程，分离变量就得到：

$\frac{1-y-y^2}{y^2(1+y)}dy=\frac{1}{x}dx$

即有：

$\left(\frac{-2}{y}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{1+y}\right)dy=\frac{1}{x}dx$

积分就得到：

$-2\ln y-\frac{1}{y}+\ln(1+y)=\ln x+C$

整理就有：

$\frac{xy^2}{1+y}=C_1e^{-\frac{1}{y}}$

这里 $C,C_1$ 都是待定的积分常数。

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青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

6楼2016-02-02 02:03:45

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雨～火

新虫 (初入文坛)

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解的好，支持

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7楼2016-02-08 16:45:39

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罗luomin敏

新虫 (小有名气)

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专业: 有机合成

【答案】应助回帖

新年快乐，红包拿来

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8楼2016-02-10 00:23:04

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