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Sarah_Bless

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[求助] 怎么证明idempotent operator的期望值不大于1 已有1人参与

如图，Parr和Yang的Density-Functional Theory of Atoms and Molecules 42页有这么一段，主要想问如果不知道是否存在一个态|s>使得P=|s> <s|，仅由P^2=P能否得到(2.6.12)中的小于等于号。其次(2.6.12)的第一个等号要求P是厄密的，仅由P^2=P能否推出P是厄密的？是否存在一个态|s>使得Ni=|s> <s|呢?

projection.png

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1楼 2016-01-20 11:45:49

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simonrac

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Sarah_Bless: 金币+20, ★★★★★最佳答案 2016-01-21 04:55:05

1. Operator $N_i = a_{i}^{\dagger} a_i$ 本身就是厄米算符；很明显

$N_i^{\dagger} = (a_i^{\dagger} a_i)^{\dagger} = a_i^{\dagger} a_i = N_i$

但是这里它也是projection operator (2.6.11) ; self-adjoint operator 跟 projection operator没有必然关系。

2. 不能通过projection operator就能得到not greater than 1 (bounded operator); 这里必须要既是projection operator 又是 self-adjoint operator。

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2楼2016-01-20 13:14:28

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Sarah_Bless

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2楼: Originally posted by simonrac at 2016-01-20 13:14:28
1. Operator N_i = a_{i}^{\dagger} a_i 本身就是厄米算符；很明显

N_i^{\dagger} = (a_i^{\dagger} a_i)^{\dagger} = a_i^{\dagger} a_i = N_i

但是这里它也是projection operator (2.6.11) ; self-adjoint ...

谢谢您，但是我还是不明白那小于等于号是怎么来的，您可以解释一下吗？

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3楼2016-01-20 22:12:21

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simonrac

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3楼: Originally posted by Sarah_Bless at 2016-01-20 22:12:21
谢谢您，但是我还是不明白那小于等于号是怎么来的，您可以解释一下吗？...

用柯西不等式证明就好了，一般代数书上都有的：

$\langle \Psi | P^2 | \Psi \rangle = \langle P\Psi , P \Psi \rangle = \| P \Psi \|^2$

$= \langle P \Psi , \Psi \rangle \leq \|P \Psi \| \dot \| \Psi \|$

So $\| P \Psi \| \leq \| \Psi \|$

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4楼2016-01-20 23:16:27

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Sarah_Bless

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明白啦，太感谢您了！

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5楼2016-01-21 04:54:17

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