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sskkyy
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| 右推左：设P为G的一个极大真子群。则P为正规的，G/P必为循环群（如果不是循环群，取一个循环真子群<a><G/P, <a>在G中的原像包含P，与P的极大性矛盾）。为了证明G为幂零群，只需证明P为幂零群。我们证明P中的任何极大真子群也是正规的（这样归纳下去就证明了G为幂零群）。假设有一个极大真子群N<P, xNx^-1 不是N， x\inP. 设G/P=<t>, 设t在G中的一个原像为s。我们证明 <N,s> 以及<xNx^-1, xsx^-1>为G中的两个不同。任意取y \in G\<N,s>, y在G/P中的像为t^i, y=p s^i from some p\in P. 所以p \in G\<N,s>. 所以 <N, p>=P, 根据N的最大性。也就是<N,s, p>=G, <N,s>为G的极大真子群。同理可证<xNx^-1, xsx^-1>也是G的极大真子群。因为有一个元素xnx^-1不在N中，xnx^-1也不在<N,s>中（否则<N,s>=G）, 也就说明了<N,s>与<xNx^-1, xsx^-1>不相同，矛盾。 |
4楼2015-12-23 11:01:27
sskkyy
银虫 (正式写手)
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2楼2015-12-22 22:44:02
hylpy
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3楼2015-12-23 08:07:14
5楼2015-12-23 16:06:14
