【答案】应助回帖

11楼2015-12-20 17:32:15

hank612

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shen6591365(Edstrayer代发): 金币+5 2016-01-17 00:22:10

引用回帖:

8楼: Originally posted by Calois at 2015-12-20 17:29:35
我先把前面三题做了吧，最后一题应该很简单的，你试着在x=1处泰勒展开看看。不好意思楼主，我最近实在没什么时间。。。。

...

Calois 的解法十分精妙，我来捡个漏。

（10）由Lagrange中值定理，存在 $\zeta\in (a,b)$ 使得
$\frac{b^3-a^3}{b-a}=3\zeta^2$ , 于是 $f^\prime(zeta)=(b^2+ab+a^2+2)\frac{f^\prime(\zeta)}{3\zeta^2+2}$

(11)如果存在一点c使得 $f^\prime(c)=0$ , 那么 $|f^\prime(x)|=|\int_{c}^{x}f^\dprime(t)dt|\leq |x-c|\leq 2$ 成立。所以不妨设 $f^\prime>0$ (否则考虑-f(x)).

于是 $f^\prime(x)=f^\prime(y)+\int_{y}^x f^\dprime(t)dt \leq f^\prime(y)+|x-y|$ . 不等式两边对y从0到2积分，得到
$2f^\prime(x)\leq f(2)-f(0)+2-x(2-x) \leq 4$ , 收工。

We_must_know. We_will_know.

12楼2015-12-20 19:56:38

shen6591365

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引用回帖:

12楼: Originally posted by hank612 at 2015-12-20 19:56:38
Calois 的解法十分精妙，我来捡个漏。

（10）由Lagrange中值定理，存在\zeta\in (a,b)使得
\frac{b^3-a^3}{b-a}=3\zeta^2, 于是f^\prime(zeta)=(b^2+ab+a^2+2)\frac{f^\prime(\zeta)}{3\zeta^2+2}

(11)如果 ...

谢谢

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13楼2015-12-20 21:22:53

Calois

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兄台做法很巧妙!

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14楼2015-12-20 22:42:49

Calois

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引用回帖:

兄台做法很巧妙，只是不理解f'(c)=0毕竟题目没有提及，不知能否解释一下。

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15楼2015-12-20 22:45:20

Edstrayer

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8、设f(x)在区间[0,2]上是单调递减函数，则 $\int_0^2xf(x)dx\leqslant\int_0^2f(x)dx$
证：构造辅助函数 $F(x)=\int_0^xf(t)dt(x\in[0,2]$ ，则由题设条件可以得到：

$F(x)\geqslant xf(x),F'(x)=f(x)$

所以就有：

$\int_0^2xf(x)dx=\int_0^2xdF(x)=2F(2)-\int_0^2F(x)dx\leqslant 2\int_0^2f(x)dx-\int_0^2xf(x)dx$

将上式移项然后除以2就得到：

$\int_0^2xf(x)dx\leqslant\int_0^2f(x)dx$

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16楼2015-12-21 02:13:13

zzh1994aid

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第一张图第一题和第二张图最后一题都是利用辅助函数和分部积分，然后利用罗尔定理求证，第二张图那个要用两次，第一张图最后一题我也没办法把f的自变量限制到0感觉怎么弄都是0到1，其他题都有人给出解答了，加油

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17楼2015-12-23 10:19:09

shen6591365

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引用回帖:

17楼: Originally posted by zzh1994aid at 2015-12-23 10:19:09
第一张图第一题和第二张图最后一题都是利用辅助函数和分部积分，然后利用罗尔定理求证，第二张图那个要用两次，第一张图最后一题我也没办法把f的自变量限制到0感觉怎么弄都是0到1，其他题都有人给出解答了，加油
...

谢谢

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18楼2015-12-23 12:25:41