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qrr_xmc

新虫 (正式写手)

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专业: 控制理论与方法

[求助] p-norm不等式的出处或者推导思路已有2人参与

请教各位，如下p-norm不等式的出处或者推导思路。p-norm的定义见：https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space
n为x向量的维度，0<r<p。多谢！

pnorm.png

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通过不等式和等式约束得到封闭的多边体已经有22人回复

1楼 2015-11-26 11:47:45

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

001gqs

银虫 (小有名气)

应助: 30 (小学生)
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专业: 数理逻辑和与计算机相关的

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
qrr_xmc: 金币+15, ★★★★★最佳答案 2015-11-27 07:40:05

第一个不等式，只需证明||x||_p=1的情形，
此时每个|x_i|<=1，则|x_i|^r>=|x_i|^p,相加即可。

第二个不等式，只需证明||x||_p=1的情形，
可利用Holder不等式，
\sum(|x_i|^r)=\sum{(|x_i|^r)*1}
<={\sum{(|x_i|^r)^{p/r}}}^{r/p}{\sum{1^{p/(p-r)}}}^{1-r/p}
<=1*n^{1-r/p}, 整理即可。