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--power

金虫 (小有名气)

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[求助] 证明级数收敛已有2人参与

如题：
设 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续有界，周期为1， $\int_{0}^{1}\varphi(x)dx = 0$ ， $f(x)$ 在[0,1]上有连续倒数，设 $a_{n}=\int_{0}^{1}f(x)\varphi(nx)dx$ ，证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}^{2}$ 收敛。
困扰了我几天了，麻烦各位大神帮忙解答一下

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1楼 2015-10-28 13:54:52

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小生近视

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
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--power: 金币+10, ★★★★★最佳答案 2015-10-28 18:25:14

引用回帖:

4楼: Originally posted by --power at 2015-10-28 16:06:24
我按照你提供的思路，将a_{n}化成了a_{n}=\int_{0}^{1}\varphi(nx)dx\int_{0}^{x}f'(t)dt然后就不知道怎么做了。。。麻烦你有时间帮我想一下嘛，谢谢了...

过程如图

jietu.jpg

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5楼2015-10-28 18:03:04

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0404600213

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

马上要去上课了……
没办法详细想这个问题
暂时的思路是f(x)可以看成是f'(t)的变上限积分

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3楼2015-10-28 14:20:14

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引用回帖:

3楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-10-28 14:20:14
马上要去上课了……
没办法详细想这个问题
暂时的思路是f(x)可以看成是f'(t)的变上限积分

我按照你提供的思路，将 $a_{n}$ 化成了 $a_{n}=\int_{0}^{1}\varphi(nx)dx\int_{0}^{x}f'(t)dt$ 然后就不知道怎么做了。。。麻烦你有时间帮我想一下嘛，谢谢了

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4楼2015-10-28 16:06:24

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5楼: Originally posted by 小生近视 at 2015-10-28 18:03:04
过程如图

jietu.jpg
...

如醍醐灌顶啊！！！非常感谢各位大神的帮忙！

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6楼2015-10-28 18:25:22

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