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戴娜拉

铜虫 (初入文坛)

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[交流] 请教数学分析中的sinx的因式分解怎么证明已有4人参与

用级数的内容证明

请教数学分析中的sinx的因式分解怎么证明

可以证明 $\sin x = \mathop U\nolimits_k^{(n)} \cdot \mathop V\nolimits_k^{(n)}$ ，其中 $U_{k}^{(n)}=(2n+1)sin(x/(2n+1))\prod_{j=1}^{k}(1-\frac{sin^{2}\frac{x}{2n+1}}{sin^{2}\frac{j\pi }{2n+1}})$ , $V_{k}^{(n)}=\prod_{j=k+1}^{n}(1-\frac{sin^{2}\frac{x}{2n+1}}{sin^{2}\frac{j\pi }{2n+1}})$
还可以证明出 $\lim_{n \to \infty }U_{k}^{(n)}=x\prod_{j=1}^{k}(1-\frac{x^{2}}{j^{2}\pi ^{2}})$ ，且当k趋于无穷时，V趋于1。再往后我就不会了，书上说证明U有界，然后就能证明该公式了，这两个又该怎么证明呢。
第二个问题，如果我知道了sinx的分解式，那么 $cos x=\prod_{n=1}^{\infty }(1-\frac{4x^{2}}{(2n-1)^{2}\pi ^{2}})$ 又怎么证明呢

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【转】裸奔的Barabasi 已经有10人回复

1楼 2015-10-14 18:36:49

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Edstrayer

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方寸斗室小天地正气迷漫大世界

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小木虫: 金币+0.5, 给个红包，谢谢回帖

还是用“sinx的无穷乘积展开”合适，所用的参考书太古老了。

青葱岁月圣诞夜，浪漫歌舞迎新年。

8楼2015-10-19 02:48:40

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