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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » |A+a*B|对a的导数怎么求？
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Medichen

铜虫 (小有名气)

[求助] |A+a*B|对a的导数怎么求？ 已有2人参与

如题，A和B均为已知的对称矩阵，a为一标量，||表示行列式。
那么|A+a*B|对a的导数怎么求呢？
如果特殊一点的话，A为一对角阵，那么根据特征分解，其整个行列式对a的导数很容易通过特征值表示出来。但对于更一般的对称阵A貌似通过特征分解不好求，请问大家有其他解法吗？ 谢谢大家了
（ps. 这不是数学作业题，而是我在做算法时遇到的一个问题）
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笨鸟先飞！
1楼 2015-10-13 16:35:12
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Medichen

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
2楼: Originally posted by 0404600213 at 2015-10-13 17:47:22
我的思路是这样的
根据导数的定义|A+aB|的导数应该是(|A+(a+da)B|-|A+aB|)/da当da趋于0时的极限

可以把|A+(a+da)B|=|(A+aB)+daB|用行列式加法展开成若干个行列式的和，而且每个行列式中任意一列要么是|A+aB|当中 ...

谢谢你！楼下给的链接有直接的公式可以用。
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笨鸟先飞！
5楼2015-10-13 21:26:36
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0404600213

金虫 (正式写手)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
我的思路是这样的
根据导数的定义|A+aB|的导数应该是(|A+(a+da)B|-|A+aB|)/da当da趋于0时的极限

可以把|A+(a+da)B|=|(A+aB)+daB|用行列式加法展开成若干个行列式的和，而且每个行列式中任意一列要么是|A+aB|当中的对应列要么是|daB|当中的对应列
易知，当上述行列式中有两个或以上|daB|中的对应列时，这个行列式就是da的高阶无穷小；当上述行列式中没有|daB|中的对应列时，就是|A+aB|

所以|A+aB|的导数就是n个行列式的和，期中每个行列式中都有一列是|B|当中的对应列，其他列都是|A+aB|当中的对应列

因为上面的过程中并没有用到对称这个条件，所以这个结果应该还可以化简。



PS：另外一个思路是|A+aB|一定是一个关于a的n次多项式，可以考虑它的n个根……但是我没有想到比较好的方法。
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2楼2015-10-13 17:47:22
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zaq123321

专家顾问 (著名写手)

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
感谢参与，应助指数 +1
Medichen: 金币+5, ★★★★★最佳答案 2015-10-13 21:09:54
Jacobi's formula see https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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小木虫给我温暖，给我希望，爱就要爱小木虫。
3楼2015-10-13 18:12:00
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Medichen

铜虫 (小有名气)
引用回帖:
3楼: Originally posted by zaq123321 at 2015-10-13 18:12:00
Jacobi's formula see https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula

非常感谢！要得就是这个答案！
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笨鸟先飞！
4楼2015-10-13 21:09:55
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