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Medichen铜虫 (小有名气)
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|A+a*B|对a的导数怎么求？ 已有2人参与
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如题，A和B均为已知的对称矩阵，a为一标量，||表示行列式。 那么|A+a*B|对a的导数怎么求呢？ 如果特殊一点的话，A为一对角阵，那么根据特征分解，其整个行列式对a的导数很容易通过特征值表示出来。但对于更一般的对称阵A貌似通过特征分解不好求，请问大家有其他解法吗？ 谢谢大家了 （ps. 这不是数学作业题，而是我在做算法时遇到的一个问题） |
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0404600213
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【答案】应助回帖
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我的思路是这样的 根据导数的定义|A+aB|的导数应该是(|A+(a+da)B|-|A+aB|)/da当da趋于0时的极限 可以把|A+(a+da)B|=|(A+aB)+daB|用行列式加法展开成若干个行列式的和，而且每个行列式中任意一列要么是|A+aB|当中的对应列要么是|daB|当中的对应列 易知，当上述行列式中有两个或以上|daB|中的对应列时，这个行列式就是da的高阶无穷小；当上述行列式中没有|daB|中的对应列时，就是|A+aB| 所以|A+aB|的导数就是n个行列式的和，期中每个行列式中都有一列是|B|当中的对应列，其他列都是|A+aB|当中的对应列 因为上面的过程中并没有用到对称这个条件，所以这个结果应该还可以化简。 PS：另外一个思路是|A+aB|一定是一个关于a的n次多项式，可以考虑它的n个根……但是我没有想到比较好的方法。 |
2楼2015-10-13 17:47:22
zaq123321
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【答案】应助回帖
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Jacobi's formula see https://en.m.wikipedia.org/wiki/Jacobi%27s_formula [ 发自手机版 http://muchong.com/3g ] |
3楼2015-10-13 18:12:00
Medichen
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4楼2015-10-13 21:09:55
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5楼2015-10-13 21:26:36
50