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小生近视

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[求助] 一道关于连续函数性质的证明题，想到了反证法但是无从下笔已有2人参与

在（-∞，+∞）上不存在连续函数f(x)使得对于任意的C,方程f(x)=c均有且恰有两个解。

对于这个题，我想用反证法，但是我似乎找不到任何和题目条件矛盾的地方。

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1楼 2015-10-09 11:38:46

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0404600213

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
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小生近视: 金币+3, ★★★★★最佳答案 2015-10-10 16:16:40

设y1为一个实数另设f(x11)=f(x12)=y1
由于f一定不是常数函数，所以在(x11,x12)上可以任取x21都有f(x21)=y2不等于y1,不妨设y2>y1
根据前提一定有区间[x11,x12]包含于或者包含区间[x21,x22]

否则，比如x11<x21<x12<x22，则任取y1和y2之间的m，根据连续函数在闭区间上的性质在[x11,x21],[x21,x12],[x12,x22]之间都可以找到一个点,函数值为m，与条件矛盾

不妨设[x11,x12]包含区间[x21,x22]
则容易证明如果m>y2，则f(x)=m的两个根都在开区间(x21,x22)上。

任取y3>y2，则可得f(x)=y3的两个根x31,x32,而且也有[x31,x32]包含于[x21,x22]
依次类推可以得到一个区间序列

如果存在一个yn，使得[xn1,xn2]为空集或者单点集，则f(x)=yn没有两个解
如果对任意的yn>y2，[xn1,xn2]都不是空集，则可以求出yn趋向于正无穷时两个端点的极限，易知函数在这两个极限点（有可能重合到只有一个极限点）是不连续的。
综上得证

PS：忘了说，在上面的过程中，总是假设xn1<xn2