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一道关于连续函数性质的证明题，想到了反证法但是无从下笔 已有2人参与
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在（-∞，+∞）上不存在连续函数f(x)使得对于任意的C,方程f(x)=c均有且恰有两个解。 对于这个题，我想用反证法，但是我似乎找不到任何和题目条件矛盾的地方。 发自小木虫Android客户端 |
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
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设y1为一个实数另设f(x11)=f(x12)=y1 由于f一定不是常数函数，所以在(x11,x12)上可以任取x21都有f(x21)=y2不等于y1,不妨设y2>y1 根据前提一定有区间[x11,x12]包含于或者包含区间[x21,x22] 否则，比如x11<x21<x12<x22，则任取y1和y2之间的m，根据连续函数在闭区间上的性质在[x11,x21],[x21,x12],[x12,x22]之间都可以找到一个点,函数值为m，与条件矛盾 不妨设[x11,x12]包含区间[x21,x22] 则容易证明如果m>y2，则f(x)=m的两个根都在开区间(x21,x22)上。 任取y3>y2，则可得f(x)=y3的两个根x31,x32,而且也有[x31,x32]包含于[x21,x22] 依次类推可以得到一个区间序列 如果存在一个yn，使得[xn1,xn2]为空集或者单点集，则f(x)=yn没有两个解 如果对任意的yn>y2，[xn1,xn2]都不是空集，则可以求出yn趋向于正无穷时两个端点的极限，易知函数在这两个极限点（有可能重合到只有一个极限点）是不连续的。 综上得证 PS：忘了说，在上面的过程中，总是假设xn1<xn2 |
2楼2015-10-09 12:35:51
【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
小生近视: 金币+2, ★★★很有帮助 2015-10-10 16:16:47
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先设存在x1 x2，使得f(x1) f(x2)都等于c 然后通过在x1 x2点连续的定义推出 f(x1)-f(x2)小于一步西龙 x1 x2为同一点 即可証毕。 紧集也了处理 发自小木虫Android客户端 |
3楼2015-10-09 17:53:25
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