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pkusiyuan

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[资源] Symmetries And Group Theory In Particle Physics

1 Introduction to Lie groups and their representations . . . . . . . 1
1.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lie groups and Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Linear Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Real Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Semi-simple Lie algebras and their representations . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Classification of real semi-simple Lie algebras . . . . . . . . . 17
1.3.2 Representations of semi-simple Lie algebras and linear
Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 The rotation group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Infinitesimal transformations and Lie algebras of the rotation
group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Irreducible representations of SO(3) and SU(2) . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Matrix representations of the rotation operators . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Addition of angular momenta and Clebsch-Gordan coefficients 39
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 The homogeneous Lorentz group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 The proper orthochronous Lorentz group L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Lie algebra of the group L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Irreducible representations of the group L↑+ . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Irreducible representations of the complete Lorentz group . . . . . 57
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 The Poincar´e transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1 Group properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Unitary representations of the proper orthochronous Poincar´e
group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
XI
XII Contents
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 One particle and two particle states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1 The little group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2 States of a massive particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3 States of a massless particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 States of two particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5 The ℓ-s coupling scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Discrete operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.1 Space inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Parity invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3 Time reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7 Relativistic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.1 The Klein-Gordon equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.2 Extension to higher integer spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.3 The Maxwell equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.4 The Dirac equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.5 The Dirac equation for massless particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.6 Extension to higher half-integer spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8 Unitary symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Generalities on symmetries of elementary particles . . . . . . . . . . . 115
8.3 U(1) invariance and Additive Quantum Numbers . . . . . . . . . . . . 117
8.4 Isospin invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.4.1 Preliminary considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4.2 Isospin classification of hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5 SU(3) invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.5.1 From SU(2) to SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.5.2 Irreducible representations of SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.5.3 Lie algebra of SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
8.5.4 SU(3) classification of hadrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.5.5 I-spin, U-spin and V -spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.5.6 The use of SU(3) as exact symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.5.7 The use of SU(3) as broken symmetry . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.6 Beyond SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.6.1 From flavor SU(3) to color SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.6.2 The combination of internal symmetries with ordinary
spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.6.3 Extensions of flavor SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Contents XIII
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9 Gauge symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.2 Invariance under group transformations and conservation laws 171
9.3 The gauge group U(1) and Quantum Electrodynamics . . . . . . . 175
9.4 The gauge group SU(3) and Quantum Chromodynamics . . . . . 176
9.5 The mechanism of spontaneous symmetry breaking . . . . . . . . . . 181
9.5.1 Spontaneous symmetry breaking of a discrete symmetry 181
9.5.2 Spontaneous symmetry breaking of a continuous
global symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.5.3 Spontaneous symmetry breaking of a gauge symmetry:
the Higgs mechanism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.6 Spontaneous breaking of the chiral symmetry of QCD . . . . . . . . 189
9.7 The group SU(2) ⊗ U(1) and the electroweak interactions . . . . 192
9.7.1 Toward the unification of weak and electromagnetic
interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.7.2 Properties of the gauge bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.7.3 The fermion sector of the Standard Model . . . . . . . . . . . . 199
9.8 Groups of Grand Unification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A Rotation matrices and Clebsch-Gordan coefficients . . . . . . . . 213
A.1 Reduced rotation matrices and spherical harmonics . . . . . . . . . . 213
A.2 Clebsch-Gordan coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B Symmetric group and identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.1 Identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
B.2 Symmetric group and Young tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
C Young tableaux and irreducible representations of the
unitary groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
C.1 Irreducible tensors with respect to U(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
C.2 Irreducible tensors with respect to SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
C.3 Reduction of products of irreducible representations . . . . . . . . . 232
C.4 Decomposition of the IR’s of SU(n) with respect to given
subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

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附件 1 : Symmetries_And_Group_Theory_In_Particle_Physics_An_Introduction_To_Space-Time_And_Internal_Symmetries,_Costa,_Fogli,_Lnp_823,_Springer,_2012(1).pdf

2015-10-02 00:34:41, 3.75 M