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pkusiyuan

银虫 (正式写手)

[资源] Shun-Qing Shen：Lecture Notes On Quantum Mechanics

Contents
1 Fundamental Concepts 1
1.1 Relation between experimental interpretations and theoretical inferences . . 2
1.2 The Stern-Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 The Stern-Gerlach experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Sequential Stern-Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 A nalogy with Polarization of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Dirac Notation andOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Base kets andMatrix Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 Eigenkets of an Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Eigenkets as Base kets: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3 Matrix Representation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Measurements, Observables & The Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Spin1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Probability Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.4 S
x
and S
y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.5 The A lgebra of Spin Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
ii
CONTENTS – MANUSCRIPT
1.5.6 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Position,Momentum, and Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Continuous Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.2 Some properties of the −function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7.3 Position Eigenkets and PositionMeasurements . . . . . . . . . . . . . 27
1.7.4 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 The Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Quantum Dynamics 37
2.1 Time Evolution and the Schrodinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Time EvolutionOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.2 The Schrodinger Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.3 Time Dependence of Expectation Value: Spin Precession. . . . . . . . 43
2.2 The Schrodinger versus the Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.1 Two A proaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 The Heisenberg Equation ofMotion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.3 How to construct a Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Simple Harmonic Oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Time Development of the Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 The Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Propagators and Feynman Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1 Propagators inWave Mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 Propagator as a Transition A mplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.5 The Gauge Transformation and Phase of Wave Function . . . . . . . . . . . . 67
iii
CONTENTS – MANUSCRIPT
2.5.1 Constant Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.2 Gauge Transformation in Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5.3 The Gauge Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.4 The A haronov-BohmEffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6 Interpretation of Wave Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1 What’s 

(x)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.2 The Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.7 Square well potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.7.1 One dimensional square well potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3 Theory of Angular Momentum 84
3.1 Rotation and A ngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.1 Finite versus infinitesimal rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.2 Orbital angularmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.3 Rotation operator for spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.4 Spin precession revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Rotation Group and the Euler A ngles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.1 The Group Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.2 Orthogonal Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.3 “Special”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.4 Unitary Unimodular Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.5 Euler Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Eigenvalues and Eigenkets of A ngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.3.1 Representation of RotationOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 Schwinger Oscillator Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
iv
CONTENTS – MANUSCRIPT
3.4.1 Spin 1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.2 Two-spin—1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.3 Explicit Formula for RotationMatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 Combination of Angular Momentum and Clebsh-Gordan Coefficients . . . . . 116
3.5.1 Clesbsch-Gordan coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4S ymmetries in Physics 125
4.1 Symmetries and Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1.1 Symmetry in Classical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1.2 Symmetry in QuantumMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.3 Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.4 Symmetry and symmetry breaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.5 Summary: symmetries in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2 Discrete Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.1 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.2 TheMomentumOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.3 The A ngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.2.4 Lattice Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3 Permutation Symmetry and Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3.1 Identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4 Time Reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4.1 Classical cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.2 Antilinear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.3 A ntiunitary operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4.4 T for a zero spin particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
v
CONTENTS – MANUSCRIPT
4.4.5 T for a nonzero spin particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5 Approximation Methods for Bound States 148
5.1 The VariationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.1 Expectation value of the energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1.2 Particle in a one-dimensional infinite square well . . . . . . . . . . . . 150
5.1.3 Ground State of HeliumA tom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2 Stationary Perturbation Theory: Nondegenerate Case . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.1 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.2.2 The Two-State Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.2.3 Formal Development of Perturbation· · · . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.3 A plication of the Perturbation Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.1 Simple harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.3.2 A tomic hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.4 Stationary Perturbation Theory: Degenerate Case . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.4.1 Revisited two-state problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.4.2 The basic procedure of degenerate perturbation theory . . . . . . . . . 166
5.4.3 Example: Zeeman Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4.4 Example: First Order Stark Effect inHydrogen . . . . . . . . . . . . . 169
5.5 The Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) approximation . . . . . . . . . . . . . 171
5.6 Time-dependent Problem: Interacting Picture and Two-State Problem . . . . 171
5.6.1 Time-dependent Potential and Interacting Picture . . . . . . . . . . . 172
5.6.2 Time-dependent Two-State Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.7 Time-dependent Perturbation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.7.1 Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
vi
CONTENTS – MANUSCRIPT
5.7.2 Time-independent perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.3 Harmonic perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.7.4 The Golden Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6 Collision Theory 181
6.1 Collisions in one- and three-dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.1.1 One-dimensional square potential barriers . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2 Collision in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.3 Scattering by Spherically Symmetric Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
6.4 A plications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.4.1 Scattering by a square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.4.2 Scattering by a hard-sphere potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.5 Approximate Collision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.5.1 The Lippman-Schwinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.5.2 The Born A proximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.5.3 Application: from Yukawa potential to Coloumb potential . . . . . . . 202
6.5.4 Identical Particles and Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.6 Landau-Zener Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7 Selected Topics 205
7.1 QuantumStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.1.1 Density Operator and Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.1.2 QuantumStatisticalMechanism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.1.3 QuantumStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.1.4 Systems of non-interaction particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
vii
CONTENTS – MANUSCRIPT
7.1.5 Bose-Einstein Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7.1.6 Free fermion gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.2 QuantumHall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.2.1 Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.2.2 QuantumHall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.2.3 Laughlin’s Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.2.4 Charged particle in the presence of a magnetic field . . . . . . . . . . 225
7.2.5 Landau Level and QuantumHall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.3 QuantumMagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.3.1 Spin Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.3.2 Two-Site Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.3.3 Ferromagnetic Exchange (J < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3.4 A ntiferromagnetic Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
viii
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xiangziupc48楼
2018-01-04 12:00   回复  
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wangth092149楼
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feiliping50楼
2020-02-15 19:15   回复  
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