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Shun-Qing Shen：Lecture Notes On Quantum Mechanics
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Contents 1 Fundamental Concepts 1 1.1 Relation between experimental interpretations and theoretical inferences . . 2 1.2 The Stern-Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 The Stern-Gerlach experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Sequential Stern-Gerlach Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 A nalogy with Polarization of Light . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Dirac Notation andOperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Base kets andMatrix Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Eigenkets of an Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Eigenkets as Base kets: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4.3 Matrix Representation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Measurements, Observables & The Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Spin1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3 Probability Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.4 S x and S y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.5 The A lgebra of Spin Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ii CONTENTS – MANUSCRIPT 1.5.6 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Position,Momentum, and Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.1 Continuous Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7.2 Some properties of the −function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7.3 Position Eigenkets and PositionMeasurements . . . . . . . . . . . . . 27 1.7.4 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.8 The Uncertainty Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Quantum Dynamics 37 2.1 Time Evolution and the Schrodinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Time EvolutionOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 The Schrodinger Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.3 Time Dependence of Expectation Value: Spin Precession. . . . . . . . 43 2.2 The Schrodinger versus the Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1 Two A proaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2 The Heisenberg Equation ofMotion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.3 How to construct a Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Simple Harmonic Oscillator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.1 Time Development of the Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.2 The Coherent State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.4 Propagators and Feynman Path Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.1 Propagators inWave Mechanics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.2 Propagator as a Transition A mplitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5 The Gauge Transformation and Phase of Wave Function . . . . . . . . . . . . 67 iii CONTENTS – MANUSCRIPT 2.5.1 Constant Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.2 Gauge Transformation in Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5.3 The Gauge Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5.4 The A haronov-BohmEffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.6 Interpretation of Wave Function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.6.1 What’s (x)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.6.2 The Classical Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.7 Square well potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.7.1 One dimensional square well potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3 Theory of Angular Momentum 84 3.1 Rotation and A ngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.1.1 Finite versus infinitesimal rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.2 Orbital angularmomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.1.3 Rotation operator for spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.4 Spin precession revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.2 Rotation Group and the Euler A ngles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2.1 The Group Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2.2 Orthogonal Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.3 “Special”? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2.4 Unitary Unimodular Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.5 Euler Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3 Eigenvalues and Eigenkets of A ngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3.1 Representation of RotationOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4 Schwinger Oscillator Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 iv CONTENTS – MANUSCRIPT 3.4.1 Spin 1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4.2 Two-spin—1/2 system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.3 Explicit Formula for RotationMatrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5 Combination of Angular Momentum and Clebsh-Gordan Coefficients . . . . . 116 3.5.1 Clesbsch-Gordan coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4S ymmetries in Physics 125 4.1 Symmetries and Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.1.1 Symmetry in Classical Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.1.2 Symmetry in QuantumMechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.1.3 Degeneracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.1.4 Symmetry and symmetry breaking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1.5 Summary: symmetries in physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2 Discrete Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2.1 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2.2 TheMomentumOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2.3 The A ngularMomentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.2.4 Lattice Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3 Permutation Symmetry and Identical Particles . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3.1 Identical particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.4 Time Reversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.4.1 Classical cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4.2 Antilinear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4.3 A ntiunitary operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4.4 T for a zero spin particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 v CONTENTS – MANUSCRIPT 4.4.5 T for a nonzero spin particle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5 Approximation Methods for Bound States 148 5.1 The VariationMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.1.1 Expectation value of the energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.1.2 Particle in a one-dimensional infinite square well . . . . . . . . . . . . 150 5.1.3 Ground State of HeliumA tom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2 Stationary Perturbation Theory: Nondegenerate Case . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.1 Statement of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.2.2 The Two-State Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2.3 Formal Development of Perturbation· · · . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.3 A plication of the Perturbation Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.3.1 Simple harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.3.2 A tomic hydrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.4 Stationary Perturbation Theory: Degenerate Case . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4.1 Revisited two-state problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.4.2 The basic procedure of degenerate perturbation theory . . . . . . . . . 166 5.4.3 Example: Zeeman Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.4.4 Example: First Order Stark Effect inHydrogen . . . . . . . . . . . . . 169 5.5 The Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) approximation . . . . . . . . . . . . . 171 5.6 Time-dependent Problem: Interacting Picture and Two-State Problem . . . . 171 5.6.1 Time-dependent Potential and Interacting Picture . . . . . . . . . . . 172 5.6.2 Time-dependent Two-State Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.7 Time-dependent Perturbation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.7.1 Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 vi CONTENTS – MANUSCRIPT 5.7.2 Time-independent perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.7.3 Harmonic perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.7.4 The Golden Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6 Collision Theory 181 6.1 Collisions in one- and three-dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.1.1 One-dimensional square potential barriers . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.2 Collision in three dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.3 Scattering by Spherically Symmetric Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6.4 A plications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.4.1 Scattering by a square well . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.4.2 Scattering by a hard-sphere potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.5 Approximate Collision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.5.1 The Lippman-Schwinger Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.5.2 The Born A proximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.5.3 Application: from Yukawa potential to Coloumb potential . . . . . . . 202 6.5.4 Identical Particles and Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.6 Landau-Zener Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7 Selected Topics 205 7.1 QuantumStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.1.1 Density Operator and Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7.1.2 QuantumStatisticalMechanism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.1.3 QuantumStatistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.1.4 Systems of non-interaction particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 vii CONTENTS – MANUSCRIPT 7.1.5 Bose-Einstein Condensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.1.6 Free fermion gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.2 QuantumHall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.2.1 Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.2.2 QuantumHall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.2.3 Laughlin’s Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.2.4 Charged particle in the presence of a magnetic field . . . . . . . . . . 225 7.2.5 Landau Level and QuantumHall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.3 QuantumMagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.3.1 Spin Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.3.2 Two-Site Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 7.3.3 Ferromagnetic Exchange (J < 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.3.4 A ntiferromagnetic Exchange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 viii |
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