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yangyugdzs

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[求助] 50金币求助计算数列A_n的显式通项公式已有1人参与

求助各位高手，如何计算下面数列A_n的显式通项公式，

也就是最后的表达式A_n是关于n的一个明显的表达式，而不是需要迭代的，比如A_n=2^n+3n+n^2 就是想要这样的结果，推导或者matlab计算出来均可，
如果是matlab麻烦给我发一下计算过程的代码，再次谢谢大家！

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1楼 2015-09-25 21:01:44

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hank612

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

由于 $A_n=Res(-\frac{z^2+15}{(z^3-z^2+9z-1)z^n},z=0)$ ,
所以可以很方便用Wolframalpha.com 来算.

显式通项公式由于牵涉到三次方程求根公式, 很复杂, 相信你也没有兴趣看. 不过, 形式非常简单, $A_n=c_1*r_1^n+c_2*r_2^n+c_3*r_3^n$ , 其中, c1,c2,c3为待定常数, r1=8.9003..., r2,r3=0.04987+/-0.33147 I 为 x^3-9x^2+x-1=0的三个根.

近似公式是: A_n=c1*8.9003^n的整数部分, 因为后两个根模太小, 很快r^n趋于零.

比如, 你可以计算一下到A_40, 跟下图中的数字比对一下,是否一模一样?

residue.png

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We_must_know. We_will_know.

2楼2015-09-26 01:56:04

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yangyugdzs

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2楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-26 01:56:04
由于A_n=Res(-\frac{z^2+15}{(z^3-z^2+9z-1)z^n},z=0),
所以可以很方便用Wolframalpha.com 来算.

显式通项公式由于牵涉到三次方程求根公式, 很复杂, 相信你也没有兴趣看. 不过, 形式非常简单, A_n=c_1*r_1^n+c ...

需要的是精确的求解，公式含n的表达式子，而不是近似

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3楼2015-09-26 09:25:09

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hank612

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【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★
yangyugdzs(feixiaolin代发): 金币+20 2015-09-27 20:54:04
feixiaolin: 应助指数+1 2015-09-27 20:54:10

引用回帖:

3楼: Originally posted by yangyugdzs at 2015-09-26 09:25:09
需要的是精确的求解，公式含n的表达式子，而不是近似...

不好意思，啰嗦了半天，却离题万里。
设 $A=\frac{1}{3}\left(1-\frac{26^{2/3}}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}-1}}+\sqrt[3]{78\sqrt{3}-26}\right)$ ,

$B=\frac{1}{6}\left(2+\frac{26^{2/3}(1+\sqrt{3}i)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}-1}}-(1-\sqrt{3}i)\sqrt[3]{78\sqrt{3}-26}\right)$

$C=\frac{1}{6}\left(2+\frac{26^{2/3}(1-\sqrt{3}i)}{\sqrt[3]{3\sqrt{3}-1}}-(1+\sqrt{3}i)\sqrt[3]{78\sqrt{3}-26}\right)$

那么
$A_n=\frac{A^2+15}{(A-B)(A-C)}\left(\frac{1}{A}\right)^n+\frac{B^2+15}{(B-A)(B-C)}\left(\frac{1}{B}\right)^n+\frac{C^2+15}{(C-A)(C-B)}\left(\frac{1}{C}\right)^n$

利用这个通项公式，你可以算出 A1=15, A2=135, A3=1201, A4=10689, A5=95135,
A6=846727, A7=7536097. 这些值与An的前七项完全吻合，公式应该是正确的。

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4楼2015-09-26 11:21:50

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引用回帖:

4楼: Originally posted by hank612 at 2015-09-26 11:21:50
不好意思，啰嗦了半天，却离题万里。
设A=\frac{1}{3}\left(1-\frac{26^{2/3}}{\sqrt{3\sqrt{3}-1}}+\sqrt{78\sqrt{3}-26}\right),

B=\frac{1}{6}\left(2+\frac{26^{2/3}(1+\sqrt{3}i)}{\sqrt{3\sqrt{3}-1}}- ...

不会这么复杂吧，哥们matlab能搞出来吗? 谢谢

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5楼2015-09-26 11:36:11

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