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shy1992331

新虫 (小有名气)

应助: 0 (幼儿园)
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专业: 数理统计

[求助] 关于矩阵谱范数的问题！急！已有1人参与

A是n*n的可逆矩阵，||A||表示A的谱范数，B表示A的逆矩阵，det(A)表示A的行列式，证明||B||≤||A||^(n-1)/det(A)

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1楼 2015-09-11 18:49:27

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

wurongjun

专家顾问 (职业作家)

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专业: 计算数学与科学工程计算
管辖: 数学

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

首先,由AB=E可得BB'A'A=E
所以 BB'的特征值与A'A的特征值乘积为1，
而A'A与AA'的特征值相同设为t1<t2<..<tn
同时注意到t1t2...tn=det(A)^2
所以||B||^2=1/t1=(t2t3...tn)/det(A)^2<(tn)^(n-1)/det(A)^2
从而||B||<(||A||)^(n-1)/det(A)

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

2楼2015-09-11 22:58:13