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shy1992331

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[求助] 关于矩阵谱范数的问题！急！已有1人参与

A是n*n的可逆矩阵，||A||表示A的谱范数，B表示A的逆矩阵，det(A)表示A的行列式，证明||B||≤||A||^(n-1)/det(A)

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1楼 2015-09-11 18:49:27

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wurongjun

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【答案】应助回帖

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首先,由AB=E可得BB'A'A=E
所以 BB'的特征值与A'A的特征值乘积为1，
而A'A与AA'的特征值相同设为t1<t2<..<tn
同时注意到t1t2...tn=det(A)^2
所以||B||^2=1/t1=(t2t3...tn)/det(A)^2<(tn)^(n-1)/det(A)^2
从而||B||<(||A||)^(n-1)/det(A)

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善恶到头终有报,人间正道是沧桑.

2楼2015-09-11 22:58:13