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erwty

金虫 (正式写手)

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[求助] 偏微分方程的求解已有4人参与

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1楼 2015-09-10 09:41:36

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mathstudy

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【答案】应助回帖

引用回帖:

8楼: Originally posted by erwty at 2015-09-10 14:54:07
解法很简便啊，如果是下面这个呢？
...

简单来讲特征函数变成球面勒让德多项式函数

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11楼2015-09-10 16:52:58

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mathstudy

金虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1

首先其次化右边界 $C=C_B-C_{Bm}$ 则 $C$ 满足主控方程
$\frac{\partial C}{\partial t}=D_0\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$ 及初边值条件 $t=0, C=C_{B0}-C_{Bm},$ $x=0, \frac{\partial C}{\partial x}=0, \quad x=\delta, \quad C=0$

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2楼2015-09-10 10:55:26

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erwty

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引用回帖:

2楼: Originally posted by mathstudy at 2015-09-10 10:55:26
首先其次化右边界 C=C_B-C_{Bm}则C满足主控方程
\frac{\partial C}{\partial t}=D_0\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}及初边值条件t=0, C=C_{B0}-C_{Bm},x=0, \frac{\partial C}{\partial x}=0, \quad x=\delta, ...

这步我会，后面就不行了。麻烦吧全过程写出来。

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3楼2015-09-10 10:57:13

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mathstudy

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【答案】应助回帖

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erwty: 金币+100, ★★★★★最佳答案, 谢谢 2015-09-10 15:02:12
erwty: 金币+40 2015-09-12 15:55:55

引用回帖:

满足边值的特征函数为 $cos \lambda_l x,\quad \lambda_l=\frac{l\pi+\frac{\pi}{2}}{\delta}$ 则解 $C$ 有如下级数形式的解 $C=\sum_{l=0}^\infty c(t) cos(\lambda_l x)$ 带入主控方程得到
$\frac{d c(t)}{d t}=-D_0\lambda_l^2 c(t)$ 解之得到 $c(t)=c_0exp(-D_0\lambda_l^2 t),\quad c_0由初值定出$ 此时得到
$C(x,t)=\sum_{l=0}^\infty c_0 exp(-D_0 \lambda_l^2 t) cos(\lambda_l x)$ 利用初值条件 $C(x,0)=C_{B0}-C_{Bm}$ 得到
$C_{B0}-C_{Bm}=\sum_{l=0}^\infty c_0 cos(\lambda_l x)$ 两侧作用 $\int_0^\delta cos(\lambda_m x)* dx$ 利用特征函数的正交性得到
$C_{B0}-C_{Bm}\int_0^\delta cos(\lambda_m x) dx=c_0 \int_0^\delta cos(\lambda_m x)*cos(\lambda_m x)dx$ 得到 $c_0=\frac{2(C_{B0}-C_{Bm})(-1)^l}{l\pi+\frac{\pi}{2}}$ 整理回代即可得到结果(注意的是你的结果后面少了平方)